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El determinante de una no-matriz cuadrada

Escribí una respuesta a esta pregunta sobre la base de los factores determinantes, pero posteriormente se ha eliminado debido a que el OP está interesado en no de las matrices cuadradas, lo que efectivamente bloquea el uso de determinantes y de lo que socavó la totalidad de la respuesta. Sin embargo, puede ser recuperado si existe una función $\det$ definida en todos los reales valores de las matrices (no sólo los cuadrados) con las siguientes propiedades.

  1. $\det$ es el valor real
  2. $\det$ tiene su valor habitual para matrices cuadradas
  3. $\det(AB)$ siempre es igual a $\det(A)\det(B)$ siempre que el producto de $AB$ se define.
  4. $\det(A) \neq 0$ ffi $\det(A^\la parte superior) \neq 0$

Hace una función de este tipo existen?

112voto

Dan Fox Puntos 725

Tal función no puede existir. Deje que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Entonces, ya que ambos $AB$ y $BA$ son cuadrados, si existiera una función $D$ con las propiedades 1-3, dijo que iba a celebrar \begin{align} \begin{split} 1 &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \det(AB) = D(AB) = D(B)D(A) \\ Y= D(a)D(B) = D(AB) = \det(AB) = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0. \end{split} \end{align}

6voto

Eelco Hoogendoorn Puntos 157

El producto de todos los valores singulares diferentes de cero satisface la mayoría de las propiedades que usted está buscando, con la excepción de 3. Se calculará el hipervolumen de el espacio definido por la matriz.

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