Condiciones de reflexión periódica en una esfera.

Question

Un espejo perfecto cubre la superficie interior de una esfera (suposición: no hay ninguna pérdida durante la reflexión y las reflexiones continúan sin fin) y hay un láser muy pequeño en el punto $A$ en la superficie de la esfera y la dirección de la luz láser va hacia el interior y se refleja desde otro punto $B$ en la superficie de la esfera.
Cuáles son todas las condiciones matemáticas posibles para obtener reflexiones periódicas. (Pasando de nuevo de $A$ a $B$ )

Muchas gracias por las respuestas

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos rotar de forma que $A$ está en la parte superior y el rayo láser original se encuentra en el $x$ - $z$ plano. Entonces todos los rayos reflejados también estarán en ese plano, y las reflexiones tendrán lugar en un gran círculo. Por lo tanto, el problema es bidimensional y lo que nos preguntamos es cómo apuntar un rayo láser en círculo para que vuelva a incidir en el mismo punto. Como todas las reflexiones tienen el mismo ángulo, el rayo láser recorre el mismo ángulo $\alpha$ entre dos reflexiones cualesquiera, por lo que la respuesta es que debe atravesar un múltiplo racional de $\pi$ entre dos reflexiones cualesquiera. Como el ángulo de incidencia que forma con la normal de la superficie en la esfera es $(\pi-\alpha)/2$ una condición equivalente es que el ángulo de incidencia debe ser un múltiplo racional de $\pi$ .