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¿Cuál es el menor número natural desconocido?

Hay varios números desconocidos en matemáticas, tales como la óptima constantes en algunas desigualdades. A menudo es suficiente para algunas estimaciones para estos números de arriba y de abajo, sino de encontrar los valores exactos que también es interesante. Hay situaciones en las que tales números son necesariamente números naturales, por ejemplo en la teoría de Ramsey. Por ejemplo, sabemos que hay un menor número entero $n$ que cualquier gráfico con $n$ vértices contiene una completa o una independiente subgrafo de 10 vértices, pero no conocemos el valor exacto de $n$.

¿Qué tipos de desconocido pequeña (menos de 100, por ejemplo) enteros hay? ¿Cuáles son los más pequeños desconocido constantes que se sabe que son enteros? O, más rigurosamente, ¿cuál es la menor cota superior para un desconocido, pero definibles por el número que se sabe que es un número entero?

Sé que pedir para los más pequeños desconocido entero está mal definido, ya que no sabemos los valores exactos. El más riguroso de la versión de la pregunta está bien planteada, pero no quiero evitar que alguien que ofrece interesantes ejemplos, incluso si están claramente no va a ganar la carrera por la menor cota superior de.

Una respuesta debe contener una definición de un número entero de la cantidad (o una familia) y conoce límites inferior y superior (ambos de los cuales debe ser números enteros, no infinito). Conjeturas sobre el valor real también son bienvenidos. Me han dado un ejemplo a continuación para dar una idea de lo que estoy buscando.

121voto

MrTuttle Puntos 1116

El más pequeño infinitamente a menudo se producen primer gap, o

$$\liminf_{n\to\infty}\; (p_{n+1} - p_n)$$

se desconoce por ahora. Lo más probable, es de $2 dólares, pero el gemelo primer conjetura aún no ha sido resuelto.

Debido a la labor de Yitang Zhang y posteriores mejoras por otros (sobre todo James Maynard y Terence Tao), sabemos que algunos de los mejores huecos infinitamente a menudo. Zhang demostrado que las diferencias de no más de 70 millones de producirse infinitamente a menudo, y de las mejoras que bajar el límite a $246$ (tal vez no han sido las recientes mejoras adicionales no soy consciente).

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yoliho Puntos 340

La cromática número $\chi$ del plano que satisface $4 \le \chi \le 7$, es decir, $\chi \in \{4,5,6,7\}$. El problema es conocido como el Hadwiger-Nelson problema:

¿Qué es el mínimo número de colores necesarios para colorear el plano de tal manera que no hay dos puntos separados por una distancia de exactamente $1$ se les asigna el mismo color?

El colorante a continuación, debido a Juan Isbell, muestra que $\chi \le 7$:


          7-colors
          (Imagen de mathpuzzle.com. Los círculos muestran radio de la unidad.)


Y el 4-colorabilidad de la unidad de distancia en el gráfico, la Moser Husillo, muestra que $\chi \ge 4$:


          Moser Spindle with 4 colors on nodes


40voto

Eric Naslund Puntos 50150

Cómo sobre el problema concreto de la comprensión de cómo muchos (no de intersección) esferas puede tocar a otro de la esfera en dimensiones bajas? Esto se conoce como el besar problema de número, y está abierto en la dimensión $5$.

En la dimensión $2$, los besos número es de $6 dólares, otorgado por el hexagonal mosaico del plano: dimension2

En la dimensión $3$, los besos número es de $12$, que es dado por las esferas en los vértices del icosaedro. Tenga en cuenta que, de hecho, hay mucho espacio extra en la dimensión $3$ que podemos intercambiar cualquiera de las dos esferas por el continuo movimiento que deja a todas las esferas de la no-intersección y tocar la esfera central. En la dimensión $4$ el óptimo besos número de configuración de ha $24$ esferas, determinado por los vértices de los $24$-célula.

Como para la dimensión $5$, todo lo que se sabe es que es por lo menos $40$ y en la mayoría de los $44$. De hecho, la única otra de las dimensiones de la que conocemos el valor de los besos problema de número son $8$ y $24$, y esto es debido a la extraordinaria simetrías de la $E_8$ y Sanguijuela celosías.

38voto

James Pearce Puntos 1934

Ramsey números de dar a los tamaños más pequeños de gráficos que asegurarse de que ciertos tipos de subgrupos de un tamaño dado, siempre se puede encontrar. Más específicamente, $R(k,l)$ es el entero más pequeño tal que cualquier gráfico con al menos tantos vértices contiene un subgrafo completo de $k$ vértices o independiente subgrafo de $l$ vértices.

Algunos pequeños valores son conocidos, pero hay sorprendentemente pequeño desconocido. Por ejemplo:

  • $36\leq R(4,6)\leq41$
  • $43\leq R(5,5)\leq49$

La Revista Electrónica de la Combinatoria tiene una dinámica de la encuesta de pequeños números de Ramsey , que puede consultar para obtener más detalles de los nuevos límites.

22voto

IBr Puntos 171

Considere el siguiente problema:

Encontrar el más pequeño $n$ tales que cada número $k\geq3n$ con la misma paridad $n $ puede escribirse como la suma de números primos impares de $n$.

  • $n = 1$ trivial no es verdad, porque afirma que todo número impar es primo.
  • Para $n = 2$ es la conjetura de Goldbach.
  • Para $n = 3$ es la conjetura débil de Goldbach, probado en 2013.

Así que la respuesta está en el conjunto $\{2,3\}$.

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