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Límite continuo de la mecánica de sólidos

Hay un riguroso derivación de los límites para la continuidad de las propiedades de sólidos mecánica? Por ejemplo, la tensión de la relación puede ser lineal para muestras grandes (la pendiente de ser el Módulo de Young), pero en el límite de lo que hace que se venga abajo?

Incluso si una relación lineal que existe para que la curva tensión-deformación entre dos átomos, o dos cristales, la pendiente de la probabilidad no es la misma que para los grandes de la muestra. ¿Qué escala espacial que separa a los dos regímenes y es similar a la dinámica de fluidos, donde existe la ecuación de Boltzmann en la no continuidad del régimen, las ecuaciones de Navier-Stokes en la continuidad del régimen, y un puente entre los dos regímenes (Chapman-Enskog ecuaciones)?

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JayTee Puntos 1584

El límite al que usted se refiere es conocido como el límite termodinámico en la mecánica estadística. Consiste en tomar el límite de infinitas partículas ($N\rightarrow \infty$) y volumen infinito ( $V\rightarrow \infty$ ), manteniendo una densidad finita $N/V$.

En un sólido, tanto los electrones y los núcleos atómicos contribuir a la termodinámicos y elástica cantidades, tales como el módulo de Young. Contribuciones electrónicas, que normalmente no son insignificantes, suele considerarse a partir de una mecánica cuántica punto de vista, mientras que los núcleos de las contribuciones puede ser considerado clásicamente. Usted puede ver cómo los límites termodinámicos juega un papel teniendo en cuenta que no interactúa con los electrones en un periódico de celosía (espero que usted está familiarizado con la mecánica cuántica, ya que está en el corazón de la misma). Si usted resolver la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano de la no-interacción de los electrones en el potencial de la red, usted va a encontrar una relación entre la energía E y la onda-número k de los electrones. Por ejemplo, en el unidimensional apretado modelo de enlace, te vas a encontrar:

\begin{equation} E(k)=-2tcos(ka) \end{equation}

donde a es la distancia de separación entre los átomos en la red, y t describe la probabilidad de un túnel de electrones de un átomo a un vecino.

Con el fin de resolver el problema, ya que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial, es necesario establecer las condiciones de contorno. La elección de las condiciones de contorno es importante para la "pequeña" de los sistemas, pero no juega ningún papel significativo para las "grandes" de los sistemas (es decir, en el límite termodinámico). La imposición de condiciones de contorno de los resultados en la cuantización del momento, y normalmente encontrará que usted tiene muchas permitido estados cuánticos como los sitios en la red (si se permite sólo un electrón por cada sitio, y dejar de lado la tirada). Para el periódico de las condiciones de contorno, los estados permitidos están dados por:

\begin{equation} k_n=\frac{2\pi n}{L} \end{equation}

donde L es la longitud del sistema y n es un entero arbitrario. Tenga en cuenta que esto implica que los electrones no pueden tomar cualquier valor de la energía, pero sólo los correspondientes a un $k_n$ (energía está cuantizada). Se puede notar que la separación en la onda-número entre dos "adyacentes" de los estados (es decir, un estado para un n dado y el estado de n+1) será entonces \begin{equation} \Delta k=k_{n+1}-k_n=\frac{2\pi}{L} \end{equation} Para contar el número de estados de N, por unidad de longitud, se puede hacer la siguiente suma: \begin{equation} \frac{N}{L}=\frac{1}{L}\sum_{k} 1=\frac{1}{L}\sum_{k} \frac{\Delta k}{\frac{2\pi}{L}}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k} \Delta k \end{equation} Ser capaz de hacer las sumas de los estados es muy útil en la física del estado sólido para calcular el promedio de los valores y termodinámicos cantidades a través de un abordaje de mecánica estadística.

Ahora viene la parte importante: cuando se toma el límite termodinámico ($L\rightarrow \infty$), la separación de $\Delta k$ se hace infinitamente pequeño, lo que implica que los valores posibles de la energía se vuelve permanente, y que usted tiene que reemplazar la suma de estados discretos por una integral sobre el (ahora continua) los valores de k:

\begin{equation} \sum_{k} \Delta k \rightarrow \int dk \end{equation}

así: \begin{equation} \frac{1}{L}\sum_{k} 1=\frac{1}{2\pi}\int dk \end{equation}

Si hacemos el mismo análisis en las tres dimensiones del caso (por cierto, puedes hacerlo a d dimensiones), usted tiene que reemplazar a L de V y más $2\pi$ factores que aparecen. La forma sistemática de tomar este límite es, a continuación, mediante la sustitución de las sumas por integrales en los cálculos de la siguiente manera:

\begin{equation} \frac{1}{V}\sum_{k} \rightarrow \frac{1}{(2\pi)^3}\int dk \end{equation}

Si bien es cierto que en realidad usted nunca ha $L\rightarrow \infty$, se puede considerar que usted ha entrado a este régimen de al $\frac{L}{a}>>1$. Por dos átomos, este no será el caso, ya que L=a, por definición, el tamaño de la L de su sistema es la distancia entre los átomos de una), pero teniendo en cuenta el típico interatómica distancias, que son del orden de Angstroms o nanómetros, una muestra de unos pocos micrómetros ya pueden ser tratados por este método.

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Fernando Briano Puntos 3704

Hay un riguroso derivación de los límites para la continuidad de las propiedades de la mecánica de sólidos

Continuum propiedades dejar de celebrar cada vez que llegamos a la mecánica cuántica régimen, es decir, donde los átomos y moléculas distintas y seguir mecánica cuántica soluciones en lugar de la clásica de los colectivos.

¿Qué escala espacial que separa a los dos regímenes

La mecánica cuántica es un probabilística de la teoría y en el nivel micro, gobernado por el principio de incertidumbre de Heisenberg, el HUP.

HUP

La constante de Planck es un número muy pequeño que para el clásico de dimensiones en el espacio y la energía puede considerarse igual a cero.

El principio de incertidumbre tiene que ser tomado en cuenta cuando se mira en los límites de validez de la clásica de ir a la mecánica cuántica, ya que constriñe qué variables se pueden medir con precisión juntos. Así, una regla general que no puede ser concebido sino que dependerá de las unidades de las variables objeto de estudio : el espacio y el impulso , la energía y el tiempo, además de otros más esotérico.

Una regla de oro, aunque es comparar lo que uno está interesado en con la constante de Planck h . Uno tiene que obtener las unidades correctas para la cantidad en cuestión. Si la cantidad/variable en cuestión es más grande dentro de los errores experimentales y los requisitos de precisión de h , h puede ser considerado como 0 y la cantidad de tratados de estilo clásico.

Personas que han estudiado cómo la mecánica cuántica formulaciones en sus límites dar lugar a la clásica, pero no es un simple problema matemático y cada caso debe ser estudiado por separado. Para tener una idea de la complejidad que se podría echar un vistazo a cómo clásica ondas electromagnéticas que emergen de los fotones, por ejemplo.

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Renaud Bompuis Puntos 10330

Cuando usted está haciendo prácticamente preguntas importantes acerca de la resistencia mecánica de los materiales, el tamaño es importante por muchas razones.

  • Vamos a hablar de las dislocaciones, aunque la misma discusión que también se aplica a otros defectos e impurezas. La densidad y el movimiento de las dislocaciones son factores críticos en la determinación de la resistencia mecánica de los materiales. Un cristal grande que va a tener millones y millones de dislocaciones, pero lo suficientemente pequeño cristal es probable que tenga exactamente una dislocación o cero de las dislocaciones. (En realidad, cristales muy pequeños pueden ser especialmente propensos a ser perfecto, porque dislocaciones están tan cerca de la superficie en la que se puede deslizar.) Si hay dislocaciones, que podría ser capaz de mover más fácilmente o menos fácilmente en un pequeño cristal frente a una grande (después de todo, su longitud es diferente).
  • Capas de la superficie tienen diferentes propiedades mecánicas que el volumen de las capas (después de todo, no es la reconstrucción de la superficie, la interfaz de tensión, etc.) Un pequeño cristal ha de superficie diferentes en relación con el volumen de un grande, que afecta a las propiedades mecánicas.
  • Cuánto esfuerzo es suficiente para romper una macroscópico del material? Depende de cómo nano-las grietas se propagan y crecer en micro-grietas y cosas por el estilo. En una muestra muy pequeña, las grietas no necesitan para crecer como mucho, hay relativamente más área de superficie de la semilla, etc. -- los parámetros son diferentes por lo que podemos esperar de la fuerza para ser diferente también.

Así que por todas estas razones, usted no debe ser sorprendido al encontrar que las propiedades mecánicas pueden cambiar en todos los diferentes escalas de longitud, dependiendo del material y cómo se prepara. Espero que existen reglas generales de pulgar sobre lo que las escalas de longitud que usted puede esperar efectos diferentes a suceder, pero yo no los conozco. Generalmente oigo a la gente hablar de este tipo de cosas en el contexto de la nanotecnología (menos de 50 nm de espesor objetos), pero realmente no lo sé.

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