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la interpolación de la primorial $p_{n}\#$

El primorial $p_{n}\#$ está dado por el producto de $p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$ (donde $p_{k}$ $k$th prime) - hay una natural (como en la función gamma $\Gamma(z)$) modo de interpolación para los argumentos no necesariamente es un número natural? (o en $\mathbb{C}$?)

Traté de comenzar con la siguiente definición de la función gamma:

$$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}$$

Mi primer pensamiento fue para modificar el símbolo de Pochhammer en el denominador:

$$\Gamma_{?}(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n}\# \; p_{n}^z}{z \; (z+p_{1})\cdots(z+p_{n})}$$

Pero esto claramente no funciona, debido a que los números primos no son regularmente espaciados.

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draks ... Puntos 11418

Tomar el registro de $p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$ para obtener $$ \log p_n\# = \sum_{k=1}^n \log p_n, $$ donde se reconozca la primera función de Chebyshev $\theta(n)$, que tiene un comportamiento asintótico de $\theta(n)\sim n$. Escribe la suma de forma integral y uso $$ \int_2^x f(t) d(\pi(t))=f(t)\pi(t)\biggr|_{2}^{x}+\int_{2}^{x}f'(t)\pi(t)dt. $$ desde aquí para obtener: $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \log p_n &=& \int_2^n \log k\; d\pi(k)\\ &=& \log(k)\pi(k)\biggr|_{2}^{n}+\int_{2}^{n}\frac1k \pi(k)dk. \end{eqnarray} $$ Ahora, poner en su favorito de representación para $\pi(x)$, como $ \pi(x) = \operatorname{R}(x^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) , $ con $ \operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n})\;$ $\rho$ ejecución sobre todos los ceros de $\zeta$, para obtener $\log p_n\#\;$.

Elegir, por ejemplo, la aproximación a $\pi(n)\sim \frac{n}{\log n}$, luego de llegar $$ \log p_n\# \sim \log(k)\frac{k}{\log k}\biggr|_{2}^{n}+\int_{2}^{n}\frac1k \frac{k}{\log k}dk = (n-1)+\text{Li}(x) \;. \etiqueta{$*$} $$ Exponentiate $(*)$ y listo...

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