¿Cuántos ceros hay en 100!

Question

Un acertijo matemático común que he visto se pregunta cuántos ceros hay en el producto de "100!"

Normalmente, la solución que todos dan es algo así como intentar emparejar los 5s y 2s que se desprenden de los números, lo que resulta en 24 ceros (puedes sacar un 5 de 20 de los números, y sacar 2 5s de 4 de los números; puedes sacar más de 24 2s).

Esto, sin embargo, que yo sepa, da el número de ceros finales al final del número, pero no tiene en cuenta los ceros que están dentro del número. Mi pregunta es, ¿esta respuesta es correcta de todos modos? ¿Puede haber ceros que no estén al final y estén dentro? ¿Por qué o por qué no y si puede haber, podemos de alguna manera averiguar cuántos hay dentro del producto?

Gracias

Answer 1

Para un primo $p$, sea $\sigma_p(n)$ la suma de los dígitos de $n$ cuando se escribe en forma base-$p$. Entonces, el número de factores de $p$ que dividen a $n!$ es $$ \frac{n-\sigma_p(n)}{p-1} $$

Hay $24$ ceros finales en $100!$. Dado que $100_{\text{ten}}=400_{\text{five}}$, hay $\frac{100-4}{5-1}=24$ factores de $5$ en $100!$.

Sin embargo, hay otros $6$ ceros que ocurren antes, haciendo un total de $30$:

$933262154439441526816992388562667\color{#C00000}{00}49\color{#C00000}{0}71596826438162146859296389$ $52175999932299156\color{#C00000}{0}894146397615651828625369792\color{#C00000}{0}82722375825118521\color{#C00000}{0}$ $916864\color{#C00000}{000000000000000000000000}$

Answer 2

Si quieres aprender cuántos ceros finales hay en un factorial, es

$\frac{N}{5} + \frac{N}{5}^2 + \frac{N}{5}^3 ..... \frac{N}{5}^{(m-1)} DONDE (\frac{N}{5}^m)<1$

Puedes aprender aquí cómo se llega a esta fórmula

https://www.youtube.com/watch?v=wdz_KouqHx4