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¿Por qué la derivada de seno trabajar sólo para radianes?

Todavía estoy tratando de entender por qué la derivada de seno sólo funciona para radianes. Yo siempre había pensado que radianes y grados eran ambas unidades arbitrarias de medida, y justo ahora estoy descubriendo que me he equivocado a lo largo de todos! Supongo que cuando diferenciar seno, el paso que sólo funciona para radianes es cuando se reemplaza $\sin(dx)$ con solo $dx$, porque como $dx$ enfoques $0$ entonces $\sin(dx)$ es igual a $dx$ porque $\sin(\theta)$ es igual a $\theta$. Pero no es lo mismo cierto para los grados? Como $dx$ enfoques $\theta$ grados, entonces $\sin(dx \,\text{grados})$ todavía enfoques $0$. Pero he llegado a la comprensión de que $\sin(dx \,\text{grados})$ enfoques $0$ casi $60$ veces más lento, así que si $\sin(dx \,\text{radianes})$ puede ser reemplazado con $dx$ entonces $\sin(dx \,\text{grados})$ tendría que ser reemplazado con $(\pi/180)$ veces $dx$ grados.

Pero queda la pregunta de por qué funciona perfectamente para radianes. ¿Cómo sabemos que podemos reemplazar $\sin(dx)$ con solo $dx$ sin ningún tipo de conversión se aplica igual que necesitamos para grados? No es suficiente decir simplemente que podemos ver que $\sin(dx)$ enfoques $dx$ $dx$ pone muy pequeño. Matemáticamente podemos ver que $\sin(.00001)$ es bastante maldito cerca de $0.00001$ cuando estamos usando radianes. Pero digamos que había una unidad de medida "sextos" donde hay $6$ de ellos en un círculo completo, bastante cercano a radianes. Sería también el aspecto $\sin(dx \,\text{sextos})$ enfoques $dx$ cuando se pone muy pequeño, pero sabemos que tenemos que tendría que reemplazar $\sin(dx \,\text{sextos})$ $(\pi/3) \,dx$ sextos a la hora de diferenciar. Entonces, ¿cómo sabemos que radianes trabajar así por arte de magia, y ¿por qué?

He leído las respuestas a esta pregunta y seguido de los enlaces, y no, no responde a mi pregunta.

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rajb245 Puntos 290

Radianes, a diferencia de grados, no son arbitrarios en un sentido importante.

La circunferencia de un círculo unitario es de $2\pi$; un arco del círculo unitario subtendido por un ángulo de $\theta$ radianes tiene longitud de arco de $\theta$.

Con estos 'natural' de las unidades, las funciones trigonométricas se comportan de una manera determinada. Particularmente importante es $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad\quad - (*)$$

Ahora el estudio de la derivada de $\sin$ $x =$:

$$\lim_{x \a} \frac{\sin x - \pecado a}{x} = \lim_{x \a}\left( \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{(x-a)/2}\cdot \cos\left(\frac{x+a}{2}\right)\right)$$

Este límite es igual a $$\cos$$ precisamente a causa del límite de $(*)$. Y $(*)$ es bastante diferente en grados.

32voto

Jared Puntos 3856

A mí me parece que la mejor respuesta hasta ahora es Simon S's. Otros han insinuado la importante propiedad de:

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

Algunos han indicado simplemente es importante con lo poco de razón en cuanto a por qué es importante (específicamente en lo que respecta a su pregunta sobre la derivada de $\sin(x)$, igualando los $\cos(x)$). Simon S's respuesta se explica por qué ese límite es importante para la derivada. Sin embargo, lo que me parece que falta es ¿por qué es que el límite es igual a lo que es igual y lo que sería igual si nos decidimos a utilizar grados en lugar de radianes.

En este punto, quiero reconocer que mi respuesta es esencialmente el mismo como Simon S's, salvo que yo voy a ir en espantoso detalle.

Antes de entrar en esto, no hay absolutamente nada malo con el uso de grados radianes. Se va a cambiar lo que la definición de la derivada de las funciones trigonométricas son, pero eso no va a cambiar ninguna de nuestras matemáticas, simplemente introduce un tedioso factor que siempre tenemos que llevar alrededor.

Voy a usar este geométrica prueba , como una manera de hacer sentido de que el límite anterior:

Image taken from [https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Sine_of_X_over_X/Geometric_Proof]

Sólo hay una parte de la prueba que se va a cambiar si nos decidimos a usar grados frente a radianes y que es cuando nos encontramos con la zona de el sector subtendido por $\theta$. Cuando usamos radianes obtenemos: $A_{AB} = \pi 1^2 * \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\theta}{2}$, tal como se encuentra en la prueba. Si , sin embargo, utilizamos grados, a continuación, vamos a obtener: $A_{AB} = \theta * \frac{\pi}{360}$. Ahora esto cambia su situación inicial de la desigualdad que el resto de la prueba se basa en:

$$ \frac{1}{2}\sin(\theta) \leq \frac{\pi \theta}{360} \leq \frac{1}{2}\tan(\theta) $$

(a los demás no cambia porque los senos y tangentes iguales a la misma cosa, independientemente de si podemos o no usar radianes o grados-con una adecuada trigonométricas definición de cada uno, por supuesto).

Todavía podemos proceder de la misma manera (voy a ser menos formal y no preocuparse acerca de los valores absolutos, aunque debemos técnicamente). Dividimos todo por $\sin(\theta)$, que ya que estoy solo preocuparse por el primer cuadrante y no voy a cambiar las direcciones de las desigualdades:

$$ \frac{1}{2} \leq \frac{\pi \theta}{360 \sin(\theta)} \leq \frac{1}{2\cos(\theta)}\\ \frac{360}{2\pi} \leq \frac{\theta}{\sin(\theta)} \leq \frac{360}{2\pi \cos(\theta)} \\ \frac{\pi}{180} \geq \frac{\sin(\theta)}{\theta} \geq \frac{\pi}{180}\frac{1}{\cos(\theta)} $$

Cuando conectamos $\theta = 0$ (si radianes o grados), llegamos a la $\cos(0) = 1$ y por lo tanto, usamos el teorema del sándwich para mostrar que:

$$ \frac{\pi}{180} \leq \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \leq \frac{\pi}{180} $$

Por lo tanto, si utilizamos grados, entonces:

$$ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = \frac{\pi}{180} $$

Volviendo a Simon S's respuesta, esto le da, como la definición de la derivada para $\sin(x)$:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}\\ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \sin(h)\cos(x) - \sin(x)}{h} \\ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)\cos(x) + \sin(x)(\cos(h) - 1)}{h} $$

Esto puede ser un poco descuidado, pero cuando $h = 0$ $\cos(h) - 1 = 1 - 1 = 0$, así que podemos dejar la segunda parte y se quedan con:

*En realidad, esto es muy descuidado, en este punto me remito de nuevo a Simon S's Respuesta

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h}\cos(x) = \cos(x)\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} $$

Mediante nuestro resultado anterior nos encontramos con los siguientes:

$$ \frac{d}{dx}\sin(x) = \frac{\pi}{180}\cos(x) $$

Esto es lo que el derivado de $\sin(x)$ es cuando hacemos uso de grados! Y sí, esto va a funcionar bien en una serie de Taylor donde nos conectamos en grados para el polinomio opuesto a radianes (aunque la serie de Taylor se ven diferentes!).

Y esperemos que ya se dan cuenta de que esto es lo que el derivado de $\sin(x)$ es cuando usamos grados, porque si aceptamos que nos debe usar radianes, entonces debemos convertir nuestra grados a radianes:

$$ \sin(x^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{180}x\right) $$

Ahora, utilizando la regla de la cadena obtenemos:

$$ \frac{d}{dx}\sin(x^\circ) = \frac{\pi}{180}\cos(x^\circ) $$

Así que la pregunta no es realmente por qué sólo trabajo con radianes; funciona igual de bien con grados a menos que tengamos una definición diferente de la derivada. El motivo por el que preferimos radianes a grados es que radianes no requiere de este factor adicional de $\frac{\pi}{180}$ cada vez que diferenciar una función trigonométrica.

23voto

Gudmundur Orn Puntos 853

Funciona precisamente porque $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$ que se convierte en sucede precisamente porque hemos elegido nuestro ángulo a ser el mismo que el arclength alrededor de un círculo unitario (y para ángulos pequeños, el arco es esencialmente una línea recta).

13voto

Ken Puntos 687

Podría ayudar a olvidar, solo brevemente, que el seno y coseno tienen nada que ver con los triángulos. En su lugar, echemos un vistazo a ellos en esta luz:

Deje que la función $s(x)$ de ser la única función con la propiedad de que $s"(x) = -s(x)$ tal que $s(0) = 0$ y $s'(0) = 1$. Así que es una función que, cuando se diferencian dos veces, da la misma función con un cambio de signo, y la recta $y = x$ es la recta tangente a la función en $x = 0$.

Igualmente, os $c(x)$ de ser la única función que $c"(x) = -c(x)$, $c(0) = 1$ y $c'(0) = 0$.

Estos son perfectamente útiles funciones. Proporcionan una base para las ecuaciones del movimiento armónico simple, que están relacionados unos con otros (porque se puede demostrar que $s'(x) = c(x)$), que están relacionados a la función exponencial a través de los números complejos, y así sucesivamente.

Y, como sucede, son exactamente el seno y el coseno funciones definidas en radianes. Al igual que hemos de elegir el valor de $e$ de modo que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$, la elección de trabajar en radianes nos da una muy buena derivados.

13voto

Angel Puntos 616

Creo que tu confusión se debe a una percepción errónea de "seno" y "ángulo". Tendemos a pensar en las unidades que medir un ángulo en grados o radianes, o graduados, o lo que sea) son independientes de la función seno. En verdad, esto no es así: el seno de un ángulo medido en grados, y en el seno de un ángulo medido en radianes son dos funciones diferentes.

Como tal, es perfectamente razonable para sospechar que tienen los diferentes tipos de cambio (derivados).

De hecho, es sólo la función de "seno de un ángulo medido en radianes" que tiene una pendiente (tasa de cambio) de $1$ en el origen: para ver esto, supongamos que considere la función:

$f(x) = \sin(ax)$, donde $x$ se mide en radianes, y $a$ es una cierta unidad de factor de conversión (para grados tenemos: $a = \frac{180}{\pi}$).

Tomando la derivada, se tiene (por la regla de la cadena):

$f'(x) = \cos(ax)\cdot$, y por lo tanto: $f'(0) = \cos(0)\cdot a=$, lo que equivale a $1$ sólo cuando $a = 1$.

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