40 votos

Explicación de la Chern carácter

El Chern personaje es a menudo visto como acaba de ser una manera conveniente de obtener un anillo homomorphism de K-teoría (ordinario) cohomology.

La mayoría de la definición habitual en ese caso parece ser sólo para definir el Chern carácter en una línea bundle como $\mathrm{ch}(L) = \exp(c_1(L))$ y, a continuación, extender esta; a continuación, por ejemplo, $\mathrm{ch}(L_1 \otimes L_2) = \exp(c_1(L_1 \otimes L_2)) = \exp(c_1(L_1) + c_2(L_2)) = \mathrm{ch}(L_1) \mathrm{ch}(L_2)$; a continuación, podemos utilizar esta opción para definir un Chern carácter general vector de paquetes.

Todo esto parece un poco ad-hoc, y no dan mucha idea de por qué tal cosa existe de todos modos.

Una explicación que me gustan mucho mejor viene de complejos orientados a la cohomology teorías. Dado un complejo orientado periódico cohomology teoría, tales como la K-teoría o periódico (ordinario) cohomology, tenemos $H(\mathbb{CP}^\infty) \cong H(P)[[t]]$ para $P$ un punto. Viendo como $\mathbb{CP}^\infty$ es la clasificación de espacio para la línea de paquetes, esto nos da una manera de tener "generalizado de las clases de Chern" para cualquier línea de paquete correspondiente a cualquier cohomology de la teoría, e incluso para cualquier vector paquete.

Tenemos un vínculo entre el complejo orientado periódico cohomology de teorías y de grupo formal de las leyes, corresponde a lo que corresponde a $c_1(L_1 \otimes L_2)$ en $\mathbb{CP}^\infty$: para el común de los cohomology, como en el anterior, obtenemos que $c_1(L_1 \otimes L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2)$ que da el aditivo grupo formal de la ley, y para la K-teoría nos dan $c_1(L_1 \otimes L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2) + c_1(L_1) c_2(L_2)$, que es el multiplicativo grupo formal de la ley. El hecho de que más de $\mathbb{Q}$ (pero no más de $\mathbb{Z}$) existe un isomorfismo entre el grupo formal de las leyes dadas por el mapa exponencial, y esto se refleja en el cohomology, dando la Chern carácter $K(X) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \a \prod_n H^{2n}(X,\mathbb{Q})$.

No estoy demasiado seguro de lo que la formulación exacta en que el segundo caso es, pero lo más importante es que me preguntaba si hay alguna otra, limpiador de interpretaciones de la Chern carácter (he estado oyendo acerca generalizada de Chern personajes, y no tengo idea de donde proviene en este caso). Parece que debería haber una manera de vincular el Chern carácter a las cosas, como el género de una secuencia multiplicativa, y el empate con otras ideas similares, por ejemplo, la Todd de género o de la L-género dado por similares de poder formal de la serie. Supongo que el problema es que yo no veo cómo estas ideas que caben todos juntos.

25voto

AngryHacker Puntos 150

Por un complejo orientado a la cohomology teoría representado por un anillo de espectro R, hay un "Hurewicz mapa" de R para su smash producto HZ ∧ R con la Eilenberg-Mac Lane objeto de los números enteros. R tiene un grupo formal de ley asociados a ella, como usted dijo. Lo hace HZ ∧ R; de hecho, lleva el grupo formal de la ley de HZ (el aditivo grupo), el de la R, y un isomorfismo entre ellos. Usted puede pensar en este isomorfismo como un "logaritmo" para el grupo formal de la ley de R.

Por cierto complejo orientado a la cohomology teorías R (el llamado "Landweber exacta" teorías) se puede decir más. Complejo K-teoría, la cual es representada en el establo homotopy categoría por un espectro llamado KU, es un ejemplo. En Landweber exacta de los casos, la Hurewicz mapa de graduados anillos de π*R a H*R es el universal mapa de π*R (con su grupo formal de la ley) a un anillo donde este grupo formal de la ley tiene una opción de logaritmo.

En el caso de la K-teoría (y en algunos otros casos), este universal anillo es la racionalización. Así que usted puede pensar en el Chern carácter simplemente como la Hurewicz homomorphism, o como la forma universal para lindan con un logaritmo para el grupo formal de la ley de la K-teoría.

17voto

Peter Teichner Puntos 1376

Hay una hermosa explicación de la Chern carácter que mi estudiante (Fei), que Han demostrado en su tesis: La Chern carácter está dado por el mapa en el que "se cruza con el círculo". La parte difícil es explicar por qué el dominio y el rango de este mapa son K-teoría, respectivamente, de Rham cohomology. Este utiliza isomorphisms

$K^0(X) \cong 1/1-EFT[X]$ y $H^{ev}_{dR}(X) \cong 0/1-EFT[X]$

donde $d|1-EFT[X]$ son concordancia clases de $d|1$-dimensional Euclideano campo de las teorías sobre el colector de $X$. Desde el círculo de la longitud de uno es un Euclidiana 1-colector, no es difícil de creer, modulo las definiciones precisas, que se cruce con ella da un mapa de como se requiere.

De hecho, el resultado de los trabajos incluso antes de tomar la concordancia de clases, en donde el lado izquierdo es reemplazar el vector de paquetes con la conexión y el lado derecho se convierte en (aún cerrada) de formas diferenciales.

11voto

Shane Meyers Puntos 583

Hay una buena discusión acerca de la multiplicación de las secuencias, &c., en Lawson y Michelsohn del libro "la vuelta de la Geometría". Se discute sobre cosas como la de Todd género, el sombrero de género, y así sucesivamente, pero también la de Chern carácter y el anillo homomorphism de K-teoría ordinaria cohomology. Es una lectura de la exposición y tal vez "conecta los puntos" en una forma que pueda ser útil para usted.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: