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¿Cómo se puede demostrar que la unión de dos conjuntos finitos es de nuevo finita, sin utilizar la aritmética?

La noción de que la unión de dos conjuntos finitos es de nuevo finita es algo que tomé como verdad intuitiva durante bastante tiempo. La demostración mediante la aritmética es relativamente sencilla.

Supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos finitos, así que dejemos que $m=|A|$ y $n=|B|$ . Ahora $A\cup B=A\cup(B-A)$ y como $B-A$ es un subconjunto de un conjunto finito, también es finito (ya he visto esta afirmación demostrada), así que dejemos que $k=|B-A|$ . Entonces $|A\cup B|=m+k=m+_\omega k\in\omega$ Así que $A\cup B\approx m+_\omega k$ y, por tanto, finito.

He leído que es posible demostrar esto sin utilizar la aritmética, pero no veo muy bien cómo, ya que la aritmética parece demasiado esencial para demostrar que un conjunto es equinumérico a un número natural. ¿Alguien tiene una referencia o una reproducción de dicha demostración?, tengo curiosidad por verla. Gracias.

Edición: Desconocía otras definiciones de lo que significa ser finito. Considero que un conjunto $A$ finito si existe una biyección $f\colon A\to n$ para algún número natural $n$ . Para la aritmética, estoy tratando de abstenerse de utilizar la aritmética cardinal o la aritmética de los números naturales, así que no $+_\omega$ como se utilizó en la otra prueba que di. Además, mi definición de número natural es la definición recursiva que $0=\emptyset$ y $n^+=n\cup\{n\}$ .

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Sid Puntos 16

Supongamos de entrada que los conjuntos son disjuntos. A continuación, demuestre que si los conjuntos son ambos finitos, y si quita un elemento de un conjunto y lo pone en el otro, ambos siguen siendo finitos y su unión no cambia. Por inducción, al final se agotará uno de los conjuntos finitos, dando la unión de un conjunto finito y el conjunto vacío, que es por tanto un conjunto finito. Como la unión no ha cambiado en cada paso, es igual a la unión de los dos conjuntos originales.

La prueba debe hacerse construyendo biyecciones entre los conjuntos y los números naturales, transfiriendo el elemento mapeado al último número natural de un conjunto, y mapeándolo al sucesor del último número natural mapeado por el otro.

Para el caso de que los conjuntos no sean disjuntos se puede arreglar de varias maneras, como eliminándolos de un conjunto sin añadirlos al otro, o probando que eliminar elementos de un conjunto finito siempre da un resultado finito, o utilizando su $B-A$ truco.

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jwarzech Puntos 2769

Si su definición de finito se basa en una cardinalidad igual a un número natural, entonces quizás en ese sentido nunca se libraría de la aritmética en ninguna prueba de este tipo.

Sin embargo, se podría utilizar una definición alternativa de finito que evitara cualquier referencia explícita a los números cardinales y, por tanto, a la aritmética. Tal definición se ordena de manera que un conjunto esté simultáneamente bien ordenado en ambas direcciones, es decir, que cualquier subconjunto no vacío tenga tanto un elemento más pequeño como uno más grande (no necesariamente diferente si el subconjunto tiene un solo elemento).

En ZFC se sabe que esta definición de finito es equivalente a la habitual, es decir, que un conjunto tiene cardinalidad igual a un número natural.

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guruz Puntos 1129

Otra noción de finito es: "El conjunto no contiene un subconjunto propio biyectivo consigo mismo". Esto no utiliza la aritmética, y podría ser utilizado para mostrar lo que quieres.

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xrost Puntos 129

No del todo libre de aritmética, pero dando una prueba porque creo que sería útil de cualquier manera.

Si ambos conjuntos no son vacíos y son finitos (si uno de ellos está vacío, entonces el resultado es trivial), entonces hay biyecciones f:{1, ..., m} --> A y g:{1, ..., n} --> B para alguna elección de m y n. . n} --> B para alguna elección de m y n. Defina una función h:{1, ..., m+n} --> A U B estableciendo h(i) = f(i) para i = 1 a m y h(i) = g(i - m) para i = m+1 a m+n. Es fácil comprobar que h es suryente, de lo que se deduce que A U B es finito.

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DanV Puntos 281

La conservación del momento se produce debido a la invariancia de traslación espacial. De forma similar, en la mecánica cuántica tenemos números cuánticos que corresponden a los valores propios de los operadores que conmutan con el hamiltoniano. Para un cristal, nuestro hamiltoniano sólo tiene invariancia de traslación discreta (todo se ve igual sólo si se mueve todo el sistema por un vector de celosía de Bravais). Este operador de traslación discreto está bien definido, y sus valores propios no corresponden a las excitaciones elementales de un líquido de Fermi, sino que la base de una sola partícula estados en el espacio de Fourier.

(Lo que no quiere decir que no exista la misma física cuando se va a un líquido de Fermi, sólo que no viene al caso. El "momento cristalino" sólo tiene que ver con el seguimiento de la simetría de traslación del entorno en el que una onda intenta propagarse).

En cuanto a lo que esto significa para el electrón movimiento Steve B da una buena respuesta

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