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¿Por qué uno piensa Steenrod plazas y poderes?

Estoy estudiando Steenrod operaciones de Hatcher del libro. Como homología, se puede utilizar sólo el saber de los axiomas, sin preocuparse por la construcción real. Pero si bien hay un montón de intuitiva razones para introducir la homología, no puedo encontrar ninguna para el Steenrod operaciones. Puedo seguir los pasos de las pruebas dadas por Hatcher, pero no entiendo por qué se introduce todos estos espacios como $\Lambda X$, $\Gamma$ X, y así sucesivamente (en Hatcher la notación, no sé si es universal). ¿Alguien sabe cómo conseguir una intuitiva comprensión de lo que está pasando?

55voto

Patrick McElhaney Puntos 22093

Steenrod operaciones son un ejemplo de lo que se conoce como una operación de alimentación. El poder de las operaciones resultado del hecho de que la copa del producto es "conmutativa, pero no demasiado conmutativa". Las operaciones que provienen de un "refinamiento" de la operación de toma $p$th poderes (plazas si $p=2$), cuya construcción se apoya en esta divertida versión de conmutatividad.

Un cohomology de clase en $X$ asciende a un mapa de $a: X\a R$, donde $R = \prod_{n\geq0} K(F_2,n)$. Así que la copa del producto de $a$ y $b$ es dada por $$X\X veces \R\times R \xrightarrow{\mu} R.$$ En otras palabras, el espacio $R$ lleva a un producto, que codifica la copa del producto. (No hay otro producto en $R$, que codifica la adición de cohomology clases).

Se podría esperar, ya que la copa del producto es asociativa y conmutativa, que si el $n$th poder de un cohomology clase, se obtiene un cohomology de la clase en el cociente $X^n/\Sigma_n$, donde $\Sigma_n$ es el grupo simétrico, es decir, $$X^n \xrightarrow{a^n} R^n \rightarrow R$$ si el factor a través del cociente $X^n/\Sigma_n$. Esto no está bien, porque la copa del producto es realmente sólo conmutativa hasta infinitamente muchos homotopies (es decir, se trata de un "E-infinito estructura" en la $R$). Esto significa que hay una contráctiles espacio $E(n)$, con una acción libre de $\Sigma_n$, y un mapa de producto: $$\mu_n' : E(n)\times R^n\R$$ que es de $\Sigma_n$ invariante, por lo que los factores a través de $(E(n)\times R^n)/\Sigma_n$. Así, se da $a: X\a R$, se obtiene $$P'(a): (E(n)\times X^n)/\Sigma_n \a (E(n)\times R^n)/\Sigma_n \R.$$ Si se restringen a la diagonal copia de $X$ en $X^n$, se obtiene un mapa $$P(a):E(n)/\Sigma_n \veces X\a R.$$

Si $n=2$, entonces $E(2)/\Sigma_2$ es lo que Hatcher parece llamada $L^\infty$; es el infinito real proj. espacio $RP^\infty$. Por lo que $P(a)$ representa un elemento en $H^* RP^\infty \veces X \aprox H^*X[x]$; los coeficientes de este polinomio en $x$ se la Steenrod operaciones en $un$.

Otros cohomology teorías han operaciones de energía (para el K-teoría, estos son los Adams operaciones).

También puede describir la steenrod plazas directamente en el nivel de la cadena: la cuenta en el libro de Steenrod y el virus de Epstein es el mejor lugar para encontrar el nivel de la cadena de descripción.

20voto

jldugger Puntos 257

Sólo pensar en ello como categoría de la teoría; no es suficiente para definir objetos, uno también debe tener morfismos. Para definir cohomology grupos, y esos son los objetos. Lo que quiero es que morfismos entre cohomology teorías. Tal morfismos, sería de hecho una transformación natural

h(X) --> k(X)

para cohomology teorías de h y k. Se debe, por supuesto, ser aditivo, ya que cohomology teorías de la tierra en abelian grupos, y se debe preservar de la suspensión. Ellos pueden ser clasificados (subir o menor grado por una cantidad fija).

En cualquier momento usted tiene dos cohomology teorías h y k desea calcular este gradual abelian grupo de cohomology de operaciones. Pero puede ser un trabajo duro. El caso más simple es cuando k=h, en cuyo caso usted tendrá un anillo (ya que se puede componer natural de las transformaciones). Y el caso más simple para calcular es cuando h es Z/2-cohomology, cuando la respuesta es el álgebra de Steenrod.

Esto a muchos no responder a sus preguntas locales, pero esta es la respuesta global. La respuesta a tus preguntas locales es, básicamente, que la copa del producto no es (clasificado)-conmutativa en la cochain nivel, y si usted mira de cerca a este error, usted encontrará los obstáculos cochain nivel conmutatividad son los Steenrod operaciones.

20voto

AngryHacker Puntos 150

El "nivel de la cadena de la" estructura " que otros aludieron se explica en Mosher y Tangora del libro, que es bastante agradable. La idea es simple, pero a menudo es atado en el álgebra de los involucrados.

Como una analogía de la categoría de teoría, si la categoría tiene un producto cartesiano, a continuación, hay isomorphisms de Z x Z → Z x Z por dos razones: en primer lugar porque son visiblemente el mismo objeto y por lo que tiene una identidad de morfismos, y en segundo lugar porque X x Y siempre es isomorfo a S x x para cualquier X e y, con un natural giro mapa τ. Esto se convierte en un natural "twist" automorphism en Z x Z.

Lo mismo sucede para la copa del producto en el nivel de cochains. La copa del producto (x∪y) de dos cocycles siempre difiere de la (s∪x) por un coboundary, expresada por una operación natural llamado una taza-1 producto (x∪1y). Pero entonces, si z es un cocycle de grado n, (z∪1z) es siempre un cocycle porque su coboundary es la diferencia entre (z∪z) y a sí mismo. Esta operación natural le da a usted la parte superior, pero de una Steenrod operación Sqn-1 en mod-2 cohomology. La mayor cuadrados de jugar el mismo juego; no es una taza-2 producto (x∪2y) que expresan la diferencia entre (x∪1y) y (y∪1x), y (z∪2z) representa Sqn-2.

Esto responde a una pregunta muy común: ¿por Qué es la fórmula para la copa del producto a fin de goofy y asimétrica? La respuesta es que tiene que ser, porque la Steenrod operaciones de obstruir la posibilidad de hacerlo mejor.

El uso de la cohomology de real proyectiva del espacio mencionado en anteriores respuestas es muy inteligente, y la copa-i, los productos se corresponden en el procedimiento que a ciertas células de S, pero creo que algunos de los subyacentes de la historia que se esconde por allí.

14voto

Robusto Puntos 300

Además de las anteriores respuestas a Esta pregunta acerca de la comprensión de Steenrod plazas puede ayudar.

La cosa que Hatcher ¿que es diferente de, digamos, Steenrod y el virus de Epstein como Charles se mencionó, es que en lugar de construir cualquier cosa en cohomology anillos, construye una operación de Eilenberg-Maclane espacios. El $n$th cohomology grupo de cualquier espacio $$ X con coeficientes en $G$ es naturalmente isomorfo al grupo de homotopy clases de mapas de $X$ para un Eilenberg-Maclane espacio $K(G, n)$: esta identificación es agradable y functorial porque si usted mapa de $X\rightarrow$ Y puede asignar $X\rightarrow Y\rightarrow K(G, n)$ para obtener un pullback mapa en cohomology grupos. Ahora si quieres hacer un cohomology de operación, el cual puede ser definido de forma natural en cohomology grupos para cualquier valor de $X$, todo lo que usted necesita es una operación $K(G, n)\rightarrow K(H, m)$ y por componer con esto se obtiene un natural de mapa $H^n(X; G)\rightarrow H^m(X;H)$.

Así Hatcher idea es tener una especie de (smash), producto de la $K(\mathbb Z/2, n)$ (que él llama $K_n$) por sí mismo, y se asignan a los $K_{2n}$ de una manera que va a ser como la copa-producto de la plaza en la dimensión $n$, desde $Sq^n(\alpha)=\alpha^2$ cuando $\alpha$ es de dimeniosn $n$. Más explícitamente, desde $H^n(X\wedge X)$ es isomorfo a $H^n(X)\otimes H^n(X)$ por el Kunneth fórmula, el punto es encontrar un elemento de $H^{2n}(X\wedge X)$, que es la copa-producto de la plaza. Su notación NO es estándar.

Intuitivamente, la idea es hacer esto por $K_n$ por lo que se trabaja en todo $X$, y para poner las copias de $K_n$ de nuevo juntos por quotienting por un $\mathbb Z/2$ la acción. Pero el $\mathbb Z/2$-acción en $K_n\wedge K_n$ dado por el cambio no es gratuito, por lo que para que se libre de él toma $S^\infty\times K_n\wedge K_n$ y utiliza el antipodal mapa sobre $S^\infty$ a de mapa $(x, y, z)$ $(- x, z, y)$ y dar un libre $\mathbb Z/2$ la acción. (Las coordenadas aquí son realmente en $S^\infty\times K_n\times K_n$). Luego todo el resto de la construcción es acerca de tratar con las cosas adicionales que $\mathbb RP^\infty$ da, y a partir de ahí se puede calcular lo que sucede a la homología de los elementos de $\wedge X$ cuando se asigna a $K_{2n}$. Que dice la acción de $Sq^{n-i}$ en $H^i(X)$.

Espero que ayude.

6voto

knuton Puntos 865

He aquí cómo puedo explicar Steenrod plazas para los geómetras. En primer lugar, si $X$ es una variedad de dimensión $d$, a continuación, se puede producir clases en $H^n(X)$ adecuada de los mapas de $f: V \a X$ donde $V$ es una variedad de dimensión $d-$ n, a través de múltiples formalismos - por ejemplo. intersección de la teoría (el valor en una transversal de $n$-ciclo es el número de puntos de intersección), o el uso de la clase fundamental en localmente finito de homología y la dualidad, o Thom clases, o como el pushforward $ f_*(1)$, donde $1$ es la unidad de la clase en $H^0(V)$. Tomando este último enfoque, supongamos que $f$ es una inmersión y por lo tanto tiene normalmente un paquete de $\nu$. Si $x = f_*(1) \in H^n(X)$, entonces $Sq^i(x) = f_*(w_i(\nu))$. Este es esencialmente el Wu fórmula.

Es decir, si cohomology clases están representadas por submanifolds, y por ejemplo la copa del producto refleja la intersección de los datos, a continuación, Steenrod plazas recordar normal de paquete de datos.

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