Derivadas de orden superior y la regla de la cadena

Question

Entonces aquí tengo una tarea sobre derivadas de orden superior y la regla de la cadena, y una relación por demostrar: Mostrar que para una rotación en el plano$$\begin{bmatrix}u\\v \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}$$

y cualquier función dos veces diferenciable $f,$ se cumple que $$\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} = \frac{\partial^2f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2f}{\partial v^2}.$$ Lo que tengo hasta ahora es que $ f(u,v)=f(x\cos \theta-y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta) $ de la multiplicación de matrices. Pero realmente no entiendo cómo obtener $\frac{\partial f}{\partial u} $ y $\frac{\partial f}{\partial v}$.

Answer 1

La relación entre $(u,v)$ y $(x,y)$ la escribes tú, y luego mediante la regla de la cadena podemos obtener

$$\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial u} \frac {\partial u}{\partial x}+ \frac {\partial f}{\partial v} \frac {\partial v}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial u}\cos\theta + \frac {\partial f}{\partial v}\sin\theta, $$ y de manera similar se puede obtener $$\frac {\partial f}{\partial y}= -\frac {\partial f}{\partial u}\sin\theta+ \frac {\partial f}{\partial v}\cos\theta. $$ Siguiendo esto, podemos aplicar nuevamente la regla de la cadena para obtener $$\frac {\partial^2f}{\partial x^2} = \frac {\partial^2f}{\partial u^2}\cos^2\theta+2 \frac {\partial^2 f}{\partial u\partial v}\cos\theta\sin\theta+ \frac {\partial^2f}{\partial v^2}\sin^2\theta $$ y $$ \frac {\partial^2 f}{\partial y^2}= \frac {\partial^2f}{\partial u^2}\sin^2\theta-2 \frac {\partial^2 f}{\partial u\partial v}\cos\theta\sin\theta+ \frac {\partial^2f}{\partial v^2}\cos^2\theta, $$ de donde se sigue la conclusión. Nota que esto demuestra que el Laplaciano es invariante bajo rotación.