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Es este $\gcd(0, 0) = 0$ una creencia falsa en matemáticas o es verdad por convención?

Siento hacer esta pregunta, pero es importante para mí saber más acerca de la teoría de números.

Estoy confundido ¿cómo $0$ no está dividido en sí mismo y en Wolfram Alpha $\gcd(0, 0) = 0$ .

Mi pregunta aquí es: es $\gcd(0, 0) = 0$ una creencia falsa en matemáticas o es verdad por convención?

Gracias por cualquier ayuda.

40voto

Steven Gregory Puntos 3326

No es una creencia. No es una convención. Se puede demostrar...

Los números negativos podría simplemente ser una distracción innecesaria. Así que vamos a suponer que estamos hablando de cifras en $\mathbb Z^+ =\{0, 1, 2, 3, \puntos\}$

Hay dos condiciones que $g$ debe cumplir para que se llama máximo común divisor $(\gcd)$ de $x$ y $y$.

\begin{array}{lll} 1. y g|x \text{ y }g|y &\text{(g es un divisor común de x y de y)}\\ 2. &\text{Si }z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z|g &\text{(g es el máximo común divisor de x e y)} \end{array}

Como un ejemplo, considere los números $180$ y $216$. Los divisores comunes de estos dos números son $D_{180,216} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,9,\,12,\,18,\,36\}$ Los elementos de $D_{180,216}$ son todos los números que satisfacen la condición de dólares(1).$

Aquí es donde las cosas se ponen diferentes de lo que usted piensa que son. Su reacción inmediata podría ser decir que $36$ es el máximo común divisor porque todos los otros números en $D_{180,216}$ son de menos de $36$. No, eso está mal. Veamos más de cerca la condición de $(2)$. La razón por la que $36$ es el máximo común divisor es que todos los otros números en $D_{180,216}$ son divisores de $36$. Esta es una forma mucho más sutil y sofisticado cosa:

Cada lista de los divisores comunes de dos números contiene exactamente un número que todos los otros números de la lista se dividen en. Ese número es el máximo común divisor.

Entonces, ¿cómo podemos probar que $\gcd(0,0) = 0$?

Resulta que hay dos definiciones de $|b$.

DEFINICIÓN A. Deje que $a,b \in \mathbb Z^+.$ Entonces $|b$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb Z^+$ tales que $b =$.

DEFINICIÓN B. que $a,b \in \mathbb Z^+.$ Entonces $|b$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb Z^+$ tal que $\dfrac ba = $n.

Las dos definiciones son exactamente iguales, excepto, por definición, $0/0$ es cierto, y por definición B, $0/0$ es en el mejor de los indefinidos. La definición de $0/0$ para ser verdad hace que las dos definiciones equivalentes entre sí.

He encontrado que Wolfram mathworld utiliza la definición de B. listas de Wikipedia ambas definiciones. Cada álgebra y teoría de números, libro I propios usos definición A.

Personalmente, estoy horrorizado al ver definición de B por definición, es necesario generalizar el concepto de "divide" a principio ideal dominios. Una idea errónea de otros debe ser abordado aquí. Parece ser que hay una creencia de que $a|b$ implica que $a \le b$. Que no es siempre cierto. De acuerdo a la definición, $4/0$ (Desde $\dfrac 04 = 0$ y $0 = 4 \cdot 0$) pero $4 \nleq 0$.

Desde $0 = x \cdot 0$ para todo $x \in \mathbb Z^+$, los divisores de $0$ son $D =\{0,1,2,3,4,\dots\}$ Para el común de los divisores de $0$ y $0$ son $D_{0,0}=D =\{0,1,2,3,4,\dots\}$. La número uno de esa lista que todos los otros números se dividen en es $0$.

Por lo tanto $0 = \gcd(0,0)$.

Supongo que la respuesta a tu pregunta es que depende. Si usted acepta la definición(A), entonces $\gcd(0,0) = 0$ puede ser demostrado. Si usted acepta la definición(B), entonces usted tiene que definir $\gcd(0,0) = 0$, así que no está de acuerdo con las consecuencias de la definición(A).

18voto

Lissome Puntos 31

Bueno, depende.

A la hora de definir el MCD de dos enteros, la definición tiene sentido siempre que al menos uno de los enteros no es cero. Y siempre cuando se trata de problemas de divisibilidad, $\gcd(0, 0)$ no tiene sentido.

Ahora, si sabes un poco de álgebra, hay otra manera de caracterizar (es decir, identificar) el MCD de dos enteros:

El ideal generado en $\mathbb Z$ por $un$ y $b$ es un Director Ideal. Este ideal es generada por $\gcd(a, b)$ o $-\gcd(a,b)$. Ahora, esta definición es equivalente a la original por $(a, b) \neq (0, 0)$ y puede ser extendida de forma natural para el caso de que $a = 0, b = 0$. Con esta definición tenemos $\gcd(0, 0) = 0$.

Cuando el uso de los resultados de las herramientas de Anillo de teoría, uno podría querer usar este convenio. De esta manera, uno puede conseguir un poco más general de los resultados, y no hay necesidad de preocuparse en cada paso si estamos en el caso de $(0, 0)$.

12voto

egreg Puntos 64348

Este es uno de esos pregunta que plantean las guerras de religión. ;-)

El máximo común divisor se considera la primera cuando $0$ no aparece entre los números y se define como el más grande (en virtud de la costumbre de ordenar) común divisor. Pero las cosas cambian a través de los siglos.

En lo que sigue, número significa "número natural" (cero incluido).

Algunas personas dicen que todo número distinto de cero $n$ divide a $0$ porque $n\cdot 0=0$, pero ellos no aceptan $0\mediados de 0$. Por otro lado, la definición de la $a\a mediados de b$ expresado como "existe un número $c$ tales que $ac=b$" claramente incluye $0\mediados de 0$. Uno podría agregar "único", por lo que en este caso $0$ no dividir $0$. Como se puede ver, es sólo una cuestión de definiciones.

Vamos a considerar el habitual orden de los números:

$a\le b$ si y sólo si existe $c$ tal que $a+c=b$

Si nos comparamos con la anterior definición de divisibilidad

$a\a mediados de b$ si y sólo si existe $c$ tales que $ac=b$

seguramente ver una interesante similitud. Más interesante es que de esta forma se define otro orden de relación en números: la divisibilidad es reflexiva, antisimétrica y transitiva. No es un orden total, porque $2\nmid 3$ y $3\nmid 2$, pero es muy interesante el pedido, no obstante. De hecho, el conjunto ordenado de números bajo la divisibilidad es una celosía: cualquiera de los dos elementos tienen un mayor límite inferior y un mínimo de límite superior.

El mayor límite inferior de $a$ y $b$ es un número $d$ que

  1. $d\mid$ y $d\mid b$ ($d$ es un límite inferior)
  2. para todos $c$, si $c\mid$ y $c\mid b$, $c\mediados de la d$ ($d$ es el mayor límite inferior)

Por supuesto, el mayor límite inferior de un solo elemento es el elemento en sí.

Lo que esta mayor límite inferior? Por supuesto, es el mayor divisor común en todos los casos, cuando uno de entre $a$ y $b$ es distinto de cero. Y no hay ningún punto en excluyendo el elemento $0$ que, en este orden es el máximo elemento, porque $n\mid 0$ para todo $a$ ($1$ es el mínimo).

Una vez que tenga en cuenta que esta relación en los números naturales refleja el orden parcial de los ideales en el anillo de $\mathbb{Z}$ de números enteros con respecto a revertir la inclusión, en el orden en que se vuelve aún más interesante, porque el mayor límite inferior de dos ideales es su suma (y la menor cota superior es su intersección), que proporciona inmediatamente la Bézout relación para el máximo común divisor.

Vamos a llegar en negrita. Hay (propiedad conmutativa) los anillos, donde la noción de "más grande" no se puede dar un razonable sentido (creo que para los enteros de Gauss), pero el concepto de máximo común divisor tiene sentido y es muy importante. Perdemos la singularidad, pero para cualquiera de los dos elementos de $a$ y $b$ podemos encontrar un elemento $d$ la satisfacción de las propiedades 1 y 2 anteriores.

Así que, en vista de esta generalización, la "moderna" de la definición de mcd es más útil y, $\gcd(0,0)=0$ no hace ningún problema. Desde un punto de vista computacional, limitándonos a los números naturales, tal vez el mayor definición, es el mejor y preguntando sobre $\gcd(0,0)$ es bastante inútil.

Decida lo que su definición es y actuar en consecuencia. Eso es todo. Permitir a $\gcd(0,0)$ requiere hacer excepciones a la regla de que $a/\gcd(a,b)$ es un divisor de $a$; por otro lado, no la definición requiere que los diferentes excepciones. Creo que no hay mejor o peor excepciones: es una cuestión de convenciones. En algunas áreas la convención puede ser más útil que otra. Y, al final, $\gcd(0,0)$ no es un gran problema.

6voto

Steven Gregory Puntos 3326

Vamos a utilizar
$\mathbb N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ (el conjunto de los números naturales) y
$\mathbb W = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ (el conjunto de los números enteros).

En primer lugar vamos a definir divide y mcd más de $\mathbb N$. A continuación, veremos algunas de las consecuencias de esas definiciones, y, finalmente, vamos a buscar una matemáticamente sonido manera de ampliar las definiciones de divide y gcd a $\mathbb W.$


DIVIDE y MCD más de $\mathbb N$


DEFINICIÓN de $1.1.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ decimos que $x$ divide a $y$, escrito $x|y$, si $\dfrac yx$ en $\mathbb N.$

LEMA de $1.2.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ $x|y$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb N$ que $ $ y = nx.$

COROLARIO de $1.2.A.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ si $x,$ y $x \le y.$

Así, por ejemplo $3/15$ porque $\dfrac{15}{3}$ es un número natural y porque $15=3 \cdot 5.$

DEFINICIÓN de $1.3.$ Para cualquier $n \in \mathbb N,$ definimos los divisores de $n$ el conjunto $D_n=\{x \in \mathbb N: x|n\}$

TEOREMA de $1.4.$ Para cada $x,y \in \mathbb N,$ existe un único $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$

Prueba. Considerar el primer descomposiciones $x=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\alpha_i}$ y $ $ y=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\beta_i}$ en caso de que exista algún $N \ge 1$ que $\alpha_i = \beta_i = 0$ para todo $i \ge N.$ no Es difícil comprobar que $g = \prod_{i=1}^{\infty} p_i^{\gamma_i}$ donde $\gamma_i = \min(\alpha_i, \beta_i)$ para todo $i\ge 1$.

DEFINICIÓN de $1.5.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y)$ es el único de $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$

COROLARIO de $1.5.A.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si \begin{array}{ll} (1.) y g|x \text{ y } g|y\\ (2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z \le g \end{array}

COROLARIO de $1.5.B.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si \begin{array}{ll} (1.) y g|x \text{ y } g|y\\ (2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z|g \end{array}


Cuántos problemas no tratando de manejar $0$ causa?


DEFINICIÓN de $1.1$ Casi todavía funciona con $0$ tirado. Podemos afirmar, por ejemplo, que $4/0$ desde $\dfrac 04 = 0.$ Pero, dado que $\dfrac 00$ es indefinido, no podemos decidir si $0/0$ es Verdadera o Falsa.

LEMA de $1.2$ Es la clave del problema. Si queremos convertir este lema en una definición, entonces no hemos cambiado la forma de "divide" trabaja para el natural los números y ahora, se puede demostrar que $0/0.$

COROLARIO de $1.2.$ Ahora es Falso, ya que $4/0$ sin embargo $4 \nleq 0.$ Pero, "divide" es un orden parcial y, con respecto a ese orden, $4/0$ indica que 0 es mayor que 4.

DEFINICIÓN de $1.3$ Estaría bien, excepto podría parecer extraño que $D_0 = \mathbb W.$

TEOREMA de $1.4$ es cierto.

DEFINICIÓN de $1.5$ Va a tener sentido.

COROLARIO de $1.5.$ Ya no sería cierto.

COROLARIO de $1.5.B$ funcionarían si hemos afirmado que $0/0$


DIVIDE y MCD más de $\mathbb W$


Entonces, ¿cómo vamos a manejar $0?$ Lo que sigue es, esencialmente, el enfoque moderno. En este enfoque, $0/0$ y $\gcd(0,0) = 0.$

DEFINICIÓN de $1.1.$ Para todo $x, y \in \mathbb W,$ $x|y$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb W$ que $ $ y = nx.$

Por lo que $0/0$ porque $0 = 0 \cdot 0.$

DEFINICIÓN de $1.3.$ Para cualquier $n \in \mathbb W,$ definimos los divisores de $n$ el conjunto $D_n=\{x \in \mathbb W: x|n\}$

En particular, $D_0 = \mathbb W.$

TEOREMA de $1.4.$ Para cada $x,y \in \mathbb W,$ existe un único $g \in \mathbb W$ tales que $D_x \cap D_y = D_g.$

En particular, $D_0 \cap D_0 = D_0.$

Prueba. El uso de la antigua prueba para $x, y \gt 0.$ Los casos especiales son fáciles de manejar.

DEFINICIÓN de $1.5.$ Para cada $x,y \in \mathbb W, \gcd(x,y)$ es el único de $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$

De ello se sigue que $\gcd(0,0) = 0.$

COROLARIO de $1.5.B.$ Para cada $x,y \in \mathbb W, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si \begin{array}{ll} (1.) y g|x \text{ y } g|y\\ (2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z|g \end{array}

Tenga en cuenta que una manera de leer la condición (2) es la que se indica que $g$ es "el mayor" divisor o $x$ y $y$ con respecto a la orden parcial $divide a$.

6voto

Evan Trimboli Puntos 15857

Tienes derecho a ser reacios a aceptar la validez de $\gcd(0, 0) = 0$. Muchas veces, las preguntas acerca de 0 conducir a la gráfica de discontinuidades y dilemas existenciales.

Dado un valor distinto de cero enteros de $a$ y $b$, $$\frac{a}{\gcd(a, b)}$$ es un divisor de $a$ y $$\frac{b}{\gcd(a, b)}$$ es un divisor de a $b$. Ahora, piense por un momento acerca de $\gcd(a, 0)$ cuando $a \neq 0$. ProofWiki nos dice que $\gcd(a, 0) = |a|$. Por ejemplo, con $a = -3$ tenemos $\frac{-3}{3} = -1$, que sin duda es un divisor de $-3$ y $\frac{0}{3} = 0$, que podemos elegir aceptar como un divisor de 0 (más que elección más adelante).

Hasta ahora no hemos provocado la división por cero error. Pero si entonces nos preguntamos ¿qué los divisores de 0, entonces nos encontramos con ese problema. Y luego también tenemos que volver a examinar la definición de divisor, una definición que damos por sentado cuando se trata con los positivos como los negativos números enteros. Dado un valor distinto de cero enteros de $a$ y $b$, decimos que $b$ es un divisor de $un$ si $\frac{a}{b}$ es un número entero. Por ejemplo, $-3$ es un divisor de $-27$ desde $\frac{-27}{-3} = 9$. Pero $-6$ no es un divisor de $-27$ porque $\frac{-27}{-6} = \frac{9}{2}$, que no es un número entero (a pesar de que es un número racional).

Además, cada número entero positivo es uno de sus divisores propios, y su lista de divisores es una secuencia finita. Por lo tanto, si $a > 0$, entonces $\gcd(a, a) = a$. Con pequeños ajustes podemos decir lo mismo para cada número entero negativo. De hecho, si $a \neq 0$, entonces $\frac{a}{a} = 1$. Pero como usted ya sabe, $\frac{0}{0}$ es indefinido o no válido.

Así llegamos a la aparentemente absurda conclusión de que cada entero positivo y a cada número entero negativo es divisor de 0, pero 0 sí no es su propio divisor. Alguien comentó antes de que esto significa que $\gcd(0, 0) = \infty$. O uno podría decir que $\gcd(0, 0) = -\infty$ por la pura base de ella. Pero ni $\infty$ ni $-\infty$ son números enteros.

No importa cómo es grande de dos enteros positivos, podría ser, cada uno de ellos todavía tienen un finito lista de los divisores. La intersección de dos conjuntos finitos es también finito, y por lo tanto puede (al menos teóricamente, en el caso de grandes enteros más allá de nuestra práctica computacional de la capacidad) ser ordenada para encontrar un divisor en común que es mayor que todos los otros divisores comunes.

Pero 0 tiene una infinita lista de los divisores. Incluso si aceptamos 0 como su propio divisor (que no tenemos), es todavía más pequeño que, dicen, $5^{4^{3^2}}$. Y luego hay $5^{4^{3^2}} + 1$, $5^{4^{3^2}} + 2$, etc., ad infinitum. Por lo tanto $\gcd(0, 0)$ es indefinido.

Todo esto está bien y dandy, pero si eres de programación de una calculadora o de un sistema de álgebra computacional, lo que realmente quiere lanzar un mensaje de error por cada una de las indefinido cosa que viene a tu manera? Usted también tiene que considerar que los programadores como para construir funciones en la parte superior de otras funciones. Si usted tiene que programar GCD, ¿ de implementar el algoritmo de Euclides (que no siempre puede ser el más eficiente, por ejemplo, dos números de Fibonacci consecutivos) o no puede construir en la parte superior de la FactorInteger?

Trate de computación $\gcd(8, 13)$. La manera más rápida es factorizar $8 = 2^3$ y nota que el 13 es un número primo. Por lo tanto $\gcd(8, 13) = 1$. Ahora intenta esto en Wolfram Alpha: FactorInteger[0]. No es de extrañar que Wolfram Alpha te da 0 de GCD[0, 0]? También trate de

  • Table[GCD[n, n], {n, -10, 10}]
  • Table[GCD[n, n + 2], {n, -10, 10}]

(La segunda da una $-2$ en el medio que sobresale como un pulgar dolorido).

En conclusión, $\gcd(0, 0) = 0$ es malo, aunque no sé si mucha gente cree . Creo que si usted decide tratarlo como si fuera cierto, sería por conveniencia, no de la convención.

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