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En las soluciones de una ecuación en la $\mathbb{Z}_3$

Para números enteros $x_1, x_2, y_1, y_2, y_3$ supongamos que $$ x_1 + x_2 \equiv y_1 + y_2 + y_3 \pmod 3. $$ Para $k=0, 1, 2$ definir $$ s_k = \Big| \{ y_i \,|\, y_i \equiv k \pmod 3 \} \Big| - \| \ { x_i \,|\, x_i \equiv k \pmod 3 \} \Big|, $$ Mostrar que $$ (s_2 - s_1 )/3 + (1 - (-1)^{s_0}) / 2 \leq 1 . $$

¿Hay alguna idea para probar la existencia de esta desigualdad otros que se de el caso de la comprobación de la primera ecuación de soluciones?

Editar:

De hecho similar problema señalado por muchas otras ecuaciones en $\mathbb{Z_3}$. Por ejemplo, $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4\equiv y_1 \pmod 3 $$ y $$ x_1 + 1 \equiv y_1 +y_2 + y_3 \pmod 3.$$ Estoy buscando una solución que puede ser prorrogado por otros ecuaciones!

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smitchell360 Puntos 36

Su congruencias tienen la forma general $$\sum_{i=1}^r x_i + c\equiv\sum_{j=1}^s y_j \quad(\textrm{mod } m).$$

Esto implica las siguientes tres relaciones entre el $s_k$'s:

  1. $\sum_k k\, s_k \equiv c \ (\textrm{mod } m)$
  2. $\sum_k s_k = s - r$
  3. $\sum_k |s_k| \le r+s$, con igualdad de iff no $x_i$ toma el mismo valor en $y_j$.

(La primera es más que el original de la congruencia reexpresado, y la segunda, dice que si se suma el $s_k$'s se obtiene el número de $y$'s menos el número de $x$'s. La tercera no es necesario para su ejemplo, pero parece útil en algunos casos más grandes; se sigue desde $$|s_k|\le \#\{y_j\mid y_j=k\}+\#\{x_i\mid x_i=k\}.)$$

Además, sabemos que, para cada $k$, $-r\le s_k\le s$.

Especializada para su ejemplo: $r=3$, $s=2$, $m=3$, $c=0$, así, las ecuaciones (1) y (2) reducir a

  1. $ s_1-s_2 \equiv 0 \ (\textrm{mod } 3)$
  2. $s_0+s_1+s_2 = -1 $

donde $-3\le s_k\le 2$.

La ecuación (1) dice $s_1$ $s_2$ son congruentes mod 3, pero desde la $s_k$'s están limitados a un intervalo de longitud 5, $|s_1-s_2|$ es de 0 o 3. En el primer caso, $s_1$ $s_2$ tienen la misma paridad, por lo que llegamos a la conclusión de $s_0$ es impar (tomando la ecuación (2) mod 2). En el último caso, $s_1$ $s_2$ han opuesto a la paridad, por lo $s_0$ es incluso. Por lo tanto, en ambos casos, tenemos

$$\frac{|s_1-s_2|}{3}+ \frac{1-(-1)^{s_0}}{2}= 1$$

dado que uno de los sumandos es 1, y el otro es de 0. El deseado de la desigualdad de la siguiente manera.

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user141614 Puntos 5987

Podemos suponer que $x_1,x_2,y_1,y_2,y_3\in\{0,1,-1\}$. A continuación, podemos utilizar las funciones de los indicadores \begin{align*} f_0(t) &= 1-t^2 = \begin{cases} 1 & t=0 \\ 0 & t\in\{-1,+1\} \end{casos}\\ f_1(t) &= \frac{t(t+1)}2 = \begin{cases} 1 & t=1 \\ 0 & t\in\{-1,0\} \end{casos}\quad\text{y}\\ f_2(t) &= \frac{t(t-1)}2 = \begin{cases} 1 & t=-1 \\ 0 & t\in\{0,1\} \end{casos} \end{align*} para contar los números en el resto de las clases: $$ s_k = \sum_{i=1}^3 f_k(y_i) - \sum_{i=1}^2 f_k(x_i). $$ Conectar la definición de $f_k$, obtenemos $$ s_0 = 1 +x_1^2+x_2^2 -y_1^2-y_2^2-y_3^2, $$ y $$ s_2-s_1 = x_1+x_2-y_1-y_2-y_3. $$ Obviamente, $|s_2-s_1|\le 5$. Por la asunción, $3|s_2-s_1$. Por otra parte, debido a $x_i^2\equiv x_i\pmod2$$y_i^2\equiv y_i\pmod2$, $s_2-s_1\equiv s_0-1\pmod2$.

Si $s_0$ es impar, a continuación, $s_2-s_1$ es aún, por lo $6|s_2-s_1$. Por lo tanto, $s_2-s_1=0$.

Si $s_1$ es incluso, a continuación, $s_2-s_1$ es impar, por lo $s_2-s_1\equiv3\pmod6$, y $|s_2-s_1|=3$.

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Steve Kass Puntos 5967

Tenga en cuenta que $(s_2 - s_1 )$ ( $\#y_i\equiv2)-(\#y_i\equiv1)+(\#x_i\equiv1)-(\#x_i\equiv2)$ . Un poco de comprobación muestra que esto puede ser en la mayoría de los $3$.

Por lo tanto,$(s_2 - s_1 )/3\le1$, y la única forma en que la desigualdad podría fallar es cuando $(1 - (-1)^{s_0}) / 2 = 1$. Esto sucede cuando $s_0$ es impar. Para que la desigualdad no, también tendría que ser el caso de que $s_2>s_1$ para el mismo $x_i,y_i$.

Consideran los casos en que $s_0$ es impar. Si $s_0 = (\#y_i\equiv0)-(\#x_i\equiv0)=3-0$, $x_1$ y $x_2$ no son divisibles por $3$, pero su suma es, por lo $s_1=s_2=-1$. Del mismo modo, si $s_0=3-2$, $s_1=s_2=0$. Si $s_0=2-1$, $s_1=s_2=0$ así, y si $s_0=1-2$, debe ser el caso de que $s_1=s_2=-1$.

En otras palabras, si $s_0$ es impar, entonces $s_1=s_2$, y la desigualdad es siempre.

Los siguientes cálculos de Excel para todas las combinaciones de congruencia clases de mod $3$ la satisfacción de la igualdad de la suma requisito ayudó a mostrar el camino a una prueba.

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