Concluyendo divergencia basada en primeras y segundas derivadas

Question

Acabo de empezar un curso de cálculo III y actualmente estamos revisando cálculo II. Mientras hacía algunos problemas sobre sucesiones infinitas, tuve la idea de que si $\{a_n\} = f(n)$ para $n = 1, 2, 3, ...$ y si, para todos los valores de $x$ mayores que cierto $c$, $f$ es continua con $f '(x) > 0$ y $f ''(x) > 0$ (o $f '(x) < 0$ y $f ''(x) < 0$), $\{a_n\}$ debe ser divergente. Vi a mi profesor en horas de oficina hoy y estuvo de acuerdo con la intuición. Él dijo que si podía encontrar o idear una prueba para esto, podría usarla en nuestra prueba de mañana para demostrar que las sucesiones divergen. No he encontrado ningún tipo de prueba y estoy teniendo problemas para entenderlo por mi cuenta (o tal vez mi intuición estaba equivocada), ¿alguien podría confirmar/denegar esto y ayudar a idear una prueba?

Gracias de antemano,
Nicholas

Answer 1

Puedes demostrar que $f$ no está acotada, ya que entonces se seguirá que $f$ es creciente y no acotada y, por lo tanto, diverge a $\infty$ a medida que $x \to \infty. Hay un vistazo del esquema de la prueba abajo, ¡pero intenta por ti mismo primero!

Supongamos que está acotada. Dado que $f^\prime > 0$, la función $f$ es creciente y, por lo tanto, el límite $$\underset{x \to \infty} \lim f(x) = L$$ existe y es finito ($f$ es creciente y acotada). Convéncete de que dado que $f$ tiene un límite finito en $x \to \infty$, se cumple que $\underset{x \to \infty} \lim f^\prime(x) = 0$. Pero dado que $f^{\prime\prime} > 0$ sabemos que $f^\prime > 0$ está aumentando hasta el límite $0$, lo cual es una contradicción. Estoy seguro de que podrás cubrir los otros detalles y casos por ti mismo :)

Answer 2

Dado que estás haciendo esto para obtener créditos del curso, no sería ético mostrarte cómo hacerlo, sin embargo te haré una pregunta que puede ayudarte a comenzar una prueba por tu cuenta.

¿Has escuchado sobre la "prueba de la divergencia"?

Si no, búscala.