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Porcentaje de números primos entre los números naturales

¿Cuál es el porcentaje de números primos en $\mathbb{N}$?

($\mathbb{N} := \lbrace { 1, 2, 3, \ldots \rbrace }$ ; un primer sólo es divisible por sí mismo y 1 en $\mathbb{N}$)

El porcentaje tiene que ser inferior al 50%, ya que todos los números pares (excepto 2) no son primos. Por lo que el porcentaje tiene que ser menos de $1 - (\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})) = 1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) = \frac{1}{3}$

Supongo que será algo así:

$$\frac{\text{primos en } \mathbb{N}}{\text{números en } \mathbb{N}} = 1 - \sum_{i=\text{primer Prime}}^\text{primos} \frac{1}{\prod_{j=\text{primer prime}}^{i\text{-th prime}} j}$$

Pero el cálculo de este (exacta) valor va sin duda más allá de mis habilidades matemáticas. Puede alguien me ayuda?

75voto

Bryan Roth Puntos 3592

La gente está citando el Primer Número Teorema de aquí, pero que es muy grave lo que necesitábamos. Incluso el teorema de Chebyshev es un nivel por encima, en mi opinión.

En mi pregrado de la teoría de números supuesto, puedo demostrar que los números primos han densidad cero en los enteros positivos (incluyendo una cuidadosa instrucción de lo que esto significa). La prueba se administra como Teorema 6 en estas notas. De hecho, se basa en el OP de la observación de que la densidad debe ser en la mayoría de los $\frac{1}{2}$, porque la mitad de todos los números son divisibles por $2$. Del mismo modo que la densidad debe ser en la mayoría de los $\frac{1}{3}$, por cada número primo p $ > 5$ es primo relativo a $6$ y $\frac{\varphi(6)}{6} = \frac{1}{3}$. Uno puede conseguir una completa prueba mostrando que por cada $\epsilon > 0$, existe un entero positivo de $d$ tal que $\frac{\varphi(d)}{d} < \epsilon$. Esta fue demostrado anteriormente en el curso: es la Proposición 6 de esta serie de notas. La prueba no utiliza ningún tipo de analítica hecho más profunda que la divergencia de la serie armónica.

25voto

freespace Puntos 9024

Voy a denota el conjunto de todos los números primos en $\mathbb P$.

No está claro exactamente lo que uno puede entender bajo porcentaje de números primos, pero una interpretación posible es el límite $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\pi(n)}n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{|\{p\in\mathbb P; p\le n\}|}n$$ de la proporción de números primos, y todos los números en el intervalo $[1,n]$. Esta es precisamente la forma asintótica de la densidad del conjunto $\mathbb P$ y utilizando el Primer número teorema se puede demostrar que es igual a cero.


La asintótica de la densidad del conjunto $A$ se define como $$d(A)=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|\{a\in a; Un\le n\}|}n.$$ Una posible manera de mostrar a los $d(\mathbb P)=0$, sin el uso de PNT es utilizar el resultado del papel Ivan Niven. La densidad asintótica de las secuencias. Bull. Amer. De matemáticas. Soc., 57(6):420-434, 1951.

Corolario 1. Si para un conjunto de números primos $\{p_i\}$ tenemos $d(A_{p_i})=0$ para todo $i$, si $\sum p_i^{-1}=\infty$ $d(A)=0$.

Aquí, para cualquier $A\subseteq\mathbb N$ y una de las principales $p$, el conjunto $A_p$ se define como $$A_p=\{n\in A; p\mediados de n, p^2\nmid n\}.$$

Aplicando el resultado anterior con $A=\mathbb P$ y $\{p_i\}=\mathbb P$ da $d(\mathbb P)=0$.

Estamos utilizando el hecho de que $\sum_{p\in\mathbb P} \frac1p=\infty$. Una muy buena prueba de este hecho fue dado por Erdős, ver las Pruebas Del Libro por Martin Aigner, Günter M. Ziegler p.5.


Otro corto de la prueba de $d(\mathbb P)=0$ es dada en este documento:

S. E. Mamangakis. Más corto notas: la Observación en $\pi(x) = o(x)$. Proc. Amer. De matemáticas. Soc., 13(4):664--665, 1962

20voto

Anthony Shaw Puntos 858

De acuerdo con el Teorema de los números Primos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n/\log(n)}=1\etiqueta{1} $$ donde $\pi(n)$ es el número de números primos menores o iguales a $n$. Por lo tanto, no es una $N$, de modo que si $n\ge$N, $$ \frac{\pi(n)}{n}\le\frac{2}{\log(n)}\etiqueta{2} $$ Desde que existen infinitos números primos y una infinidad de números enteros positivos, no hay manera de dividir el número de números primos por el número de enteros positivos para obtener una proporción. La siguiente mejor intento en una proporción sería el límite de la proporción en $[1,n]$: $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n}\etiqueta{3} $$ La desigualdad de $(2)$ dice que el límite de $(3)$ es $0$.

Addendum:

Pete Clark menciona que el Primer Número es el Teorema de overkill para esta pregunta, y estoy de acuerdo. A la luz de esto, vamos a considerar en primer lugar la densidad de los números enteros positivos no divisible por un particular prime $p$. Definir $$ F_p=\{n\in\mathbb{Z}^+:p\nmid n\}\etiqueta{4} $$ Está bastante claro que la $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|F_p\cap[1,n]|}{n}=1-\frac{1}{p}\etiqueta{5} $$ Divisibilidad por un primer $p$ y una de las principales $q$ son independientes; es decir, $p\mediados de n$ y $q\mid$ n si y sólo si $pq\mid$ n. Por lo tanto, la densidad de $F_p\cap F_q$ es $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|F_p\cap F_q\cap[1,n]|}{n}=\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\etiqueta{6} $$ Continuar de esta forma, tenemos que la densidad de los números enteros positivos no divisible por cualquier en un conjunto de los números primos $\{p_i\}_{i=1}^k$ sería $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|\bigcap_{i=1}^kF_{p_i}\cap[1,n]|}{n}=\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\tag{7} $$ Por lo tanto, la densidad de los números primos no en $\{p_i\}_{i=1}^k$ no es mayor que $\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$. Ya que la densidad de los números primos en $\{p_i\}_{i=1}^k$ es $0$, la densidad de todos los números primos no es mayor que $\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$.

Si nos enumerar todos los primos como $\{p_i\}_{i=1}^\infty$, utilizando el Teorema Fundamental de la Aritmética, tenemos que $$ \begin{align} \frac{1}{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^\alpha}\right)} &=\prod_{i=1}^\infty\left(1+\frac{1}{p_i^\alpha}+\frac{1}{p_i^{2\alpha}}+\cdots\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^\alpha}\etiqueta{8} \end{align} $$ Como Pete menciona, ya que la serie armónica diverge, como $\alpha\1^+$, $(8)$ implica que $$ \prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=0\etiqueta{9} $$ Por lo tanto, la densidad de los números primos es $0$.

9voto

Kariem Puntos 1416

Casi todos de los números naturales están compuestas; es decir, el porcentaje de números primos en $\mathbb{N}$ es $0$.

Sabemos que el número de números primos menores o iguales a un número natural $x$ es asintótica a $x/\log(x)$; es decir, tiene el mismo comportamiento para los grandes de $x$. Ya que este crece estrictamente más lento que $x$, vemos que la proporción de números primos va a $0$.

A partir de esta fórmula, también podemos encontrar que la proporción de números primos de los números naturales menores que $x$ es $1/\log(x)$.

-4voto

Joe Puntos 1

Mientras que la densidad de primos como un porcentaje de todos los números naturales es igual a cero, que no es más que un corolario de algunos de Kantor las teorías acerca de diferentes niveles de infinito: hay infinitamente más números naturales de los números primos, así que como $N\to\infty$, la densidad de$\to 0$.

Lo que me pareció más interesante fue cómo la densidad de un almacén de $N$ disminuciones $$ N aumenta y permanece acotada:

$25\%$ de los números a partir de $1 a$ través $de$ 100 inclusive, son el primer

$21\%$ de los números de $101 a$ través $de$ 200 inclusive, son el primer

$14\%$ de los números de $901 a$ través $1,000$ inclusiva son los principales

$9\%$ de los números de $9,001$ través $10,000$ inclusiva son los principales

etc.

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