¿Cuándo sería diferenciable una función en el punto final?

Question

Supongamos que la función está definida en $[x,y]$

Simplemente no sé qué pensar aquí. ¡Creo que todas las funciones no son diferenciables en los puntos finales porque son puntos! ¿Cómo puede existir el límite desde el otro lado del punto final?

Más importante aún, ¿cuándo sería diferenciable una función en el punto final?

¿Alguien puede proporcionar un ejemplo y explicar cómo lo obtuvo?

Answer 1

Para un ejemplo continuo, tome $$ f(t) = \sqrt{t-x} + \sqrt{y-t} $$ donde las derivadas de un lado en los extremos son infinitas.

Answer 2

Si puedes imaginar la mitad superior del círculo unitario centrado en $(0,0)$, prueba la función $f$ definida por $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ para $|t|\leqslant1$ y $f(t)=0$ para $|t|\gt1$.

Para el intervalo $[x,y]$, prueba $f(t)=\sqrt{(y-t)(t-x)}$ para $x\leqslant t\leqslant y$ y $f(t)=0$ en otros lugares, esto es la mitad superior del círculo con diámetro $[x,y]\times\{0\}$.

Answer 3

Si consideramos la función constante $1$, es diferenciable en todo el intervalo cerrado $[x,y]$. Cierto, la derivada en los extremos es unilateral, pero eso suele ser aceptable. En contraste, la función $$f(z)=\begin {cases} 0 & z=x,y \\ \frac 1{x-z}+\frac 1{y-z} & otherwise \end {cases}$$ es diferenciable en $(x,y)$, pero no en ninguno de los extremos.