Series de Taylor en Cálculo Fraccional

Question

Recientemente estudié cálculo fraccional, es decir, la posibilidad de definir derivadas fraccionarias de algunas funciones, como

$$\frac{\text{d}^{1/2}}{\text{d}x^{1/2}}\ f(x) ~~~~~ \frac{\text{d}^{2/3}}{\text{d}x^{2/3}}\ f(x)$$

y así sucesivamente.

Ahora la pregunta que surgió en mi mente es: si tal construcción es posible, ¿podríamos construir "nuevas" series de Taylor para funciones conocidas con el fin de tener en cuenta derivadas fraccionarias también?

Sé que los primeros problemas que surgirían serían: ¿cómo podríamos tomar todas las posibles derivadas de orden entre $0$ y $1$? Son infinitas. Y sí, eso podría ser un problema realmente enorme...

¿Hay algún ejemplo de Serie de Taylor Fraccional?

P.d. Ya he leído otras preguntas similares, pero son demasiado áridas y aún no he encontrado ninguna buena respuesta...

Answer 1

Sí:

Serie de expansión en cálculo fraccional y ecuaciones diferenciales fraccionarias

Cálculo fraccional y la serie Taylor-Riemann

Ejemplos: ver p.7-9 del primer enlace y p.18 del segundo enlace.

Answer 2

Haciendo algunos cálculos, encuentro que lo siguiente debe ser:

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{f^{(k)}(a)x^{k-n}}{\Gamma(k-n+1)}$$

donde definimos ${1\over\Gamma(-n)}=0$ para $n\in\mathbb N$

La serie de Taylor regular no se mantiene por inducción, pero esta lo hace.

Probablemente podrías ajustar $k$ para que se ajuste a lo que deseas.

(nota, no converge para la mayoría de las $f(x)$)

Answer 3

Un ejemplo de la fórmula para la derivada fraccional de Caputo en cero es \begin{equation} D_0^{\alpha}f(x) = \sum_{n=k}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)\cdot x^{n-\alpha}}{\Gamma(n+1-\alpha)} \text{ donde } k=\text{redondeado hacia arriba } \alpha. \end{equation}