¿Es válida esta demostración del Teorema de Rolle?

Question

Permita que $f:\Bbb [a,b]\to \Bbb R$ cumpla lo siguiente:

(i) $f(x)$ es continua en $[a,b]$

(ii) $f(x)$ es derivable en $(a,b)$

(iii) $f(a)=f(b)$

entonces, $\exists c\in (a,b)$ tal que $f'(c)= 0.$

Intenté demostrar este teorema de la siguiente manera:

Dado que $f(x)$ es continua en $[a,b]$, según el Teorema del máximo y el mínimo $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $[a,b]$ y los denotamos como $M$ y $m$ respectivamente.

Si $M=m$ entonces $f(x)=m=M$ para todo $x\in [a,b]$ y por lo tanto, $f'(x)=0,\forall x\in (a,b)\subset [a,b]$ y así, el teorema es verdadero.

Si $m\neq M$ asumimos que $f(a)=f(b)=M$ entonces $\exists c\in (a,b)$ tal que, $f(c)=m.$

Sabemos que,

Sea $c$ un punto interior del intervalo $I$ en el que $f:I\to \Bbb R$ tiene un extremo relativo. Si la derivada de $f$ en $c$ existe, entonces $f'(c) = 0.$

Dado que $f$ es derivable en $(a,b)$ entonces, $f'(c)=0.$

De manera similar, si $f(a)=f(b)\neq M$ entonces $\exists c\in (a,b)$ tal que, $f(c)=M.$

Sabemos que,

Sea $c$ un punto interior del intervalo $I$ en el que $f:I\to \Bbb R$ tiene un extremo relativo. Si la derivada de $f$ en $c$ existe, entonces $f'(c) = 0.$

Dado que $f$ es derivable en $(a,b)$ entonces, $f'(c)=0.$

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Hasta ahora, todos los libros que leí nunca utilizaron esta demostración. Pareció extraña. Tengo curiosidad por saber si la demostración anterior es válida o no, ya que no logro encontrar ningún error.

Las demostraciones que encontré en diferentes libros son:

Libro 1:

Libro 2:

(Este utiliza una versión diferente del Teorema de Rolle)

Libro 3:

Sé que a algunos usuarios no les gusta el uso de imágenes, pero aquí realmente temo escribir estas extensas demostraciones de los libros.

Answer 1

Su demostración es correcta y completa. La idea es usar la compacidad del dominio $[a, b]$ para deducir que $f$ debe alcanzar tanto un mínimo $m$ como un máximo $M$. Existe un caso trivial donde $m = M$, en cuyo caso $f$ debe ser la función constante que mapea cada elemento del dominio a $M$, en cuyo caso cualquier $x \in (a, b)$ tendrá $f' (x) = 0$. De lo contrario, $m < M$, y has considerado dos sub-casos:

(1) $f (a) (= f (b)) = M$. En este caso, $m < M$ implica que existe un $c \in (a, b)$ tal que $f (c) = m$. Entonces afirmas que $f' (c) = 0$.

(2) $f (a) (= f (b)) < M$. En este caso, existe un $d \in (a, b)$ tal que $f (d) = M$. Entonces afirmas que $f' (d) = 0$.

Lo único que cambiaría en tu demostración es la redacción:

Si $m \ne M$ suponemos que $f (a) = f (b) = M$...

(la énfasis es mío). Esto, al menos para mí, fue un poco confuso porque no vi el caso complementario más adelante. Puedes decir algo como

Si $m \ne M$, consideramos dos casos: o bien $f (a) = f (b) = M$, o $f (a) = f (b) \ne M$...

(más o menos como lo discutí arriba) y proceder como lo has hecho, analizando las dos posibilidades. De todos modos, esto no es un problema con la lógica de la demostración en sí, que es sólida.

Answer 2

Creo que, en los libros de texto, el Teorema de Rolle viene antes del concepto de extremo local como el concepto de límite viene antes del concepto de derivada.

Recuerdo que intenté demostrar el Teorema de Rolle de la siguiente manera:

Teorema (Teorema de Rolle): Sea $f:\Bbb [a,b]\to \Bbb R$ una función, continua en $[a,b]$, diferenciable en $(a,b)$ y tal que $f(a)=f(b)$. Entonces, $\exists c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Prueba: Dado que $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, por el Teorema del Máximo-Mínimo, los valores máximo y mínimo de $f(x)$ se alcanzan en $[a,b]$. Dado que $f(a)=f(b)$, el máximo o el mínimo deben alcanzarse en el intervalo abierto $(a,b)$. Supongamos que se alcanza el mínimo. El caso del máximo se puede probar de manera similar. Ahora, $\exists c\in (a,b)$ tal que $f(x)\geq f(c)$ para todo $x\in [a,b]$. Entonces, tenemos las siguientes observaciones, dado que $f'(c)$ existe:

1. $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0$ para todo $x>c$ lo cual implica que $f'(c)\geq 0$,
2. $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0$ para todo $x lo cual implica que $f'(c)\leq 0$.

Por lo tanto $f'(c)=0$.