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¿Qué tan preciso es aproximar la tierra como una esfera?

¿Qué nivel de error de hacer que me encuentro cuando se aproxime a la tierra como una esfera? Específicamente, cuando se trata de la posición de los puntos y, por ejemplo, el gran círculo de las distancias entre ellos.

Existen estudios sobre el promedio y el peor caso de error en comparación con un elipsoide? Me pregunto cuánta exactitud estaría sacrificando si voy con una esfera para el fin de facilitar los cálculos.

A mi en particular escenario implica directamente la asignación de coordenadas WGS84 como si fueran coordenadas en una esfera perfecta (con el radio medio definido por la IUGG) sin ningún tipo de transformación.

88voto

cjstehno Puntos 131

En resumen, la distancia puede tener un error de hasta aproximadamente 22 km de 0,3%, dependiendo de los puntos en cuestión. Que es:

  • El error puede ser expresado en varias natural, de manera útil, tales como: (i) (residual) de error, igual a la diferencia entre los dos calculado las distancias (en kilómetros), y (ii) el error relativo, igual a la diferencia dividida por el "correcto" (elipsoidal) valor. Para producir números conveniente para trabajar, que se multiplican estas tasas por 1000 para expresar el error relativo en partes por mil.

  • Los errores dependen de los extremos. Debido a la simetría de rotación del elipsoide y esfera y sus bilateral (norte-sur y este-oeste) simetrías, podemos colocar uno de los extremos en algún lugar a lo largo del meridiano de greenwich (longitud 0) en el hemisferio norte (latitud entre 0 y 90) y el otro extremo en el hemisferio oriental (longitud entre 0 y 180).

Para explorar estas dependencias, me han conspirado para que los errores entre los puntos finales en (lat,lon) = (mu,0) y (x,lambda) como una función de la latitud x entre -90 y 90 grados. (Todos los puntos son nominalmente en un elipsoide altura de cero.) En las figuras, las filas corresponden a los valores de mu en {0, 22.5, de 45 años, el 67,5} grados y las columnas a los valores de lambda en {0, 45, 90, 180} grados. Esto nos da una buena vista de todo el espectro de posibilidades. Como era de esperar, sus dimensiones máximas son de aproximadamente el acoplamiento (alrededor de 1/300) veces el eje mayor (alrededor de 6700 km), o a unos 22 km.

Errores

Residual errors

Errores relativos

Relative errors

Gráfico de contorno

Otra forma de visualizar los errores es fijar un extremo y dejar que la otra variar, contorno de los errores que puedan surgir. Aquí, por ejemplo, es un gráfico de contorno donde el primer extremo es de 45 grados de latitud norte, 0 grados de longitud. Como antes, los valores de error en kilómetros y positivo errores significan el esférico cálculo es demasiado grande:

Contour plot

Podría ser más fácil de leer cuando se envuelve alrededor del mundo:

Globe plot

El punto rojo en el sur de Francia muestra la ubicación de la primera estación.

Para el registro, aquí está el Mathematica 8 código utilizado para los cálculos:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Y uno de la conspiración de comandos:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

21voto

GSree Puntos 161

He estudiado esta cuestión recientemente. Creo que la gente quiere saber

  1. lo esférica de radio debo usar?
  2. ¿cuál es el error resultante?

Una medida razonable para la calidad de la aproximación es el máximo absoluto error relativo en el gran círculo de la distancia

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

con la máxima evaluados a lo largo de todos los posibles pares de puntos.

Si el aplanamiento f es pequeño, el esférico de radio, lo que minimiza errar es de muy cerca (a + b)/2 y el error resultante es de aproximadamente

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(evaluado con 10^6 elegidos al azar de los pares de puntos). A veces es sugirió el uso de (2*a + b)/3 como la forma esférica de radio. Esto se traduce en una ligeramente más grande error, error = 5*f/3 = 0.56% (para WGS84).

Geodesics cuya longitud es de más subestimado por el esférico la aproximación se encuentran cerca de un poste, por ejemplo, (89.1,0) a (89.1,180). Geodesics cuya longitud es el más sobrevalorado por la aproximación esférica son meridional, cerca del ecuador, por ejemplo, (-0.1,0) a (0.1,0).

ADDENDUM: He aquí otra manera de acercarse a este problema.

Seleccionar los pares de puntos uniformemente distribuidos sobre el elipsoide. Medida la distancia elipsoidal s y la distancia de una unidad de la esfera de t. Para cualquier par de puntos, s / t da un equivalente esférico de radio. El promedio de este cantidad a lo largo de todos los pares de puntos y esto da una media equivalente esférica de radio. Hay una pregunta de cómo exactamente el promedio debe ser hecho. Sin embargo, todas las opciones que he probado

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

todo salió dentro de un par de metros de la IUGG recomienda radio medio, R1 = (2 un + b) / 3. Por lo tanto, este valor se minimiza el error RMS en esféricas los cálculos de distancia. (Sin embargo, los resultados en un tiempo ligeramente mayor a la máxima el error relativo en comparación con (un + b) / 2; ver más arriba). Dado que R1es susceptibles de ser utilizados para otros fines (cálculos de áreas y similares), hay un buen motivo para seguir con esta elección para los cálculos de distancia.

La parte inferior de la línea:

  • Para cualquier tipo de trabajo sistemático, donde se puede tolerar un 1% de error en los cálculos de distancia, el uso de una esfera de radio R1. El máximo el error relativo es del 0,56%. Utilice este valor de forma consistente cuando se aproximan a la tierra con una esfera.
  • Se necesita más precisión, la solución de los elipsoidal geodésica problema.
  • Para la parte posterior de la envolvente de los cálculos, el uso de R1 o 6400 km o 20000/pi km o un. Estos resultados en un máximo error relativo de alrededor del 1%.

OTRA ADICIÓN: Se puede exprimir un poco más la precisión de la distancia ortodrómica mediante μ = tan-1((1 − f)3/2 tanφ) (un pobre hombre de la rectificación de la latitud) como la latitud, en el gran círculo de cálculo. Esto reduce el máximo error relativo de la 0.56% 0,11% (con R1 como el radio de la esfera). (No está claro si es realmente vale la pena tomar este enfoque frente a la informática de la elipsoidal distancia geodésica directamente).

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