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¿Hay números reales que no son ni racionales ni irracionales?

No habría hecho esta pregunta si no hubiera visto esta imagen:



A partir de esta imagen parece que hay reales que no son ni racionales ni irracionales (azul oscuro), pero ¿es así o esa ilustración es incorrecta?

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Observe que no hay números representados en la zona azul.

65 votos

No es una ilustración muy inteligente, de hecho.

52 votos

Nunca te fíes de alguien que dice que el 0 no es un número natural ;-p

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Dominik Puntos 7739

Un número real es irracional si y sólo si no es racional. Por definición, cualquier número real es racional o irracional.

Supongo que el creador de esta imagen eligió esta representación para mostrar que tanto los números racionales como los irracionales forman parte del conjunto mayor de los números reales. El área azul oscuro es en realidad el conjunto vacío.


Esta es mi opinión sobre una mejor representación:

Subsets of real numbers

Siéntase libre de editar y mejorar esta representación a su gusto. He cargado el código fuente del SVG en pastebin .

3 votos

@Dominik una gran respuesta (me gusta especialmente como has omitido inteligentemente el [ambiguo] $N$ set), con una pequeña observación de mi parte - la distinción de "primos" es un poco confusa, porque usted proporciona esos números ejemplares dos veces , una vez en ints positivos, y una segunda vez en "primos" - y eso hace que la imagen sea un poco confusa, porque no se repite, por ejemplo $\pi$ en $IQ$ fuera de los trascendentales... quizá no me explico del todo bien, pero espero que sepas lo que quiero decir.

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@vaxquis Sé lo que quieres decir y he pensado en esto cuando hice la imagen. Decidí escribir esos números dos veces para que sea obvio dónde está la secuencia $1, 2, 3, 4, \ldots$ viene de [podría ser confuso si faltan los primos]. Una posible solución para esto podría ser escribir los enteros positivos como una secuencia y luego hacer algunas líneas que muestren que los primos están en el mismo conjunto ["dientes" sobre un rectángulo que dice "primos"]. Pero simplemente he pensado que la representación actual es más bonita.

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¿No hay infinitamente más números irracionales que racionales? El diagrama parece implicar algo diferente. Aunque es bonito en otros aspectos. Del mismo modo, creo que hay infinitamente más números trascendentales que algebraicos.

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DanV Puntos 281

No. La definición de número irracional es un número que no es un número racional, es decir, no es el cociente entre dos enteros.

Si un número real no es racional, entonces por definición es irracional.

Sin embargo, si se piensa en algebraico números, que son números racionales y números irracionales que pueden expresarse como raíces de polinomios con coeficientes enteros (como $\sqrt2$ o $\sqrt[4]{12}-\frac1{\sqrt3}$ ), entonces hay números irracionales que no son algebraicos. Estos se llaman números trascendentales.

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casperOne Puntos 49736

Por supuesto, la respuesta "tradicional" es no, no hay números reales que no sean racionales ni irracionales. Sin embargo, como soy un opositor, permítanme ofrecer una interpretación alternativa que da una respuesta diferente.

¿Y si se utiliza la lógica intuicionista? - PyRulez

En la lógica intuicionista, donde la ley del medio excluido (LEM) $P\vee\lnot P$ es rechazada, las cosas se complican un poco más. Dejemos que $x\in \Bbb Q$ significa que hay dos enteros $p,q$ con $x=p/q$ . Entonces la interpretación tradicional de " $x$ es irracional" es $\lnot(x\in\Bbb Q)$ pero vamos a llamar a esto " $x$ no es racional". La afirmación " $x$ no es racional", que es $\lnot\lnot(x\in\Bbb Q)$ está implícito en $x\in\Bbb Q$ pero no es equivalente a ella.

Considere la ecuación $0<|x-p/q|<q^{-\mu}$ donde $x$ es el número real que se aproxima y $p/q$ es la aproximación racional, y $\mu$ es una constante real positiva. Medimos la precisión de la aproximación mediante $|x-p/q|$ pero no dejes que el denominador (y por tanto también el numerador, ya que $p/q$ está cerca $x$ ) sea demasiado grande exigiendo que la aproximación esté dentro de una potencia de $q$ . El mayor $\mu$ es, cuantos menos pares $(p,q)$ satisfacen la ecuación, por lo que podemos encontrar el mínimo límite superior de $\mu$ tal que hay infinitas soluciones coprimas $(p,q)$ a la ecuación, y esto define el medida de irracionalidad $\mu(x)$ . Hay un bonito teorema de la teoría de números que dice que la medida de irracionalidad de cualquier número algebraico irracional es $2$ y la medida de irracionalidad de un número trascendental es $\ge2$ mientras que la medida de irracionalidad de cualquier número racional es $1$ .

Por lo tanto, existe una brecha medible entre las medidas de irracionalidad de los números racionales e irracionales, y esto da lugar a una definición "constructiva" alternativa de irracional: dejemos que $x\in\Bbb I$ , leer " $x$ es irracional", si $|x-p/q|<q^{-2}$ tiene infinitas soluciones coprimas. Entonces $x\in\Bbb I\to x\notin\Bbb Q$ es decir, un número irracional no es racional, y en la lógica clásica $x\in\Bbb I\leftrightarrow x\notin\Bbb Q$ por lo que equivale a la definición habitual de irracional. Se considera una definición más constructiva porque en lugar de afirmar una negativa (que $x=p/q$ produce una contradicción), da en cambio una secuencia infinita de buenas aproximaciones que verifica la irracionalidad del número.

Este enfoque también es similar al fracción continua método: los números irracionales tienen infinitas representaciones de fracciones continuas simples, mientras que los números racionales tienen otras finitas, por lo que dada una representación de fracción continua infinita se sabe automáticamente que el límite no puede ser racional.

La mala noticia es que como la lógica intuicionista o constructiva es estrictamente más débil que la lógica clásica, no demuestra nada que la lógica clásica no pueda demostrar. Dado que la lógica clásica demuestra que todo número es racional o irracional, no demuestra que exista un número no racional no irracional (asumiendo consistencia), por lo que la lógica intuicionista tampoco puede demostrar la existencia de un número no racional no irracional. Simplemente no puede demostrar que esto es imposible (es puede ser verdad, por algún sentido de "podría"). Por otro lado, debería haber un modelo de los reales con lógica constructiva + $\lnot$ LEM, tal que hay un número no racional no irracional, e invito a cualquier analista constructivo a proporcionar tales ejemplos en los comentarios.

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Gracias por darme una idea de la lógica matemática, es muy interesante.

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jball Puntos 14152

Irracional significa no racional. ¿Puede algo ser no racional y no serlo? Pista: no.

23 votos

Y sin embargo, si un conjunto no está cerrado, puede no estar abierto. Y si es cerrado, también puede ser abierto. No siempre se puede utilizar la semántica de la lengua inglesa para sacar conclusiones en matemáticas.

22 votos

@user4894 Esto no es semántica inglesa. Esto es lógica.Tu ejemplo de los conjuntos abiertos es totalmente irrelevante.

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¿Y si se utiliza la lógica intuicionista?

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usermath Puntos 2321

Todo número real es racional o irracional. Creo que la imagen no es una buena ilustración. Aunque fíjate que un número no puede ser a la vez irracional y racional (en la imagen la intersección está vacía)

9 votos

Además, hay una cantidad considerable de más números irracionales que racionales, algo más que la imagen es engañosa.

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Como comentario histórico, creo que los racionales "vinieron" primero, luego demostramos que era razonable suponer que existían números que eran irracionales, y el conjunto de "números reales" se definió para incluir ambos.

2 votos

@CortAmmon: depende a quién le preguntes, pero en cierto sentido el continuo fue primero. Puede que los pitagóricos creyeran (sin pruebas) que todos los números eran racionales y descubrieran que estaban equivocados. Naturalmente el término números "reales" no fue necesario hasta que empezamos a inventar los números "falsos" (es decir, imaginarios).

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