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¿Qué significa esta flecha de doble cara?

¿Qué es? $\longleftrightarrow$ ¿para qué se usa en matemáticas? Sé sobre $\iff$ que se utiliza para " Si y sólo si ". ¿Son lo mismo? Estaba viendo un vídeo de YouTube que dijo:

$$\sum^{\infty}_{n=1} {1\over n^x} \longleftrightarrow \int^{\infty}_{1} {1\over t^x} dt$$

El profesor menciona la convergencia/divergencia, pero me confundí cuando surgió la notación.

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Mike Pierce Puntos 4365

En el ámbito de la lógica, $\longleftrightarrow$ se suele utilizar para " si y sólo si " en lugar de $\iff$ (porque quién quiere molestarse en dibujar esa segunda línea todo el tiempo).

De lo contrario, cuando se trata de funciones, $\longleftrightarrow$ también puede utilizarse para denotar una función biyectiva. Así, $f \colon A \leftrightarrow B$ es una biyección entre $A$ y $B$ . O también se podría escribir $$ A \overset{f}{\longleftrightarrow} B $$

Con respecto a lo que probablemente se quiso decir en el video que viste, lo siguiente es cierto:

Para un valor determinado de $x$ , uno tiene $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge si y sólo si $\int\limits_{1}^\infty \frac{1}{t^x}dt$ converge.

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madphp Puntos 261

Por un lado, $\longleftrightarrow $ se utiliza para conectar fórmulas proposicionales (por ejemplo $p\to q \lor (p\longleftrightarrow q) \land \lnot w$ ). Se puede entender como un operador binario como AND u OR, que se representan con $\land $ y $\lor $ símbolos, como usted sabrá.

Aquí puedes ver su tabla de verdad.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\longleftrightarrow q\\ \hline T&T&T\\ \hline T&F&F\\ \hline F&T&F\\ \hline F&F&T\\ \hline \end{array}$$

Por otro lado, $\iff $ se utiliza como conectivo de fórmulas proposicionales . Puedes ver ambos usos aquí: $$p\longleftrightarrow q \iff (p\to q) \land (q \to p)$$

¿Y qué hace $a \iff b $ ¿Significa? Si escribe $a\iff b $ entonces se podría decir lo mismo escribiendo que la bicondición $a \text { is true} \longleftrightarrow b \text{ is true} $ siempre es cierto. Obsérvese que esto funciona sean cuales sean los valores de verdad de $a \text { is true} $ o $b \text { is true}$ son.

Edición: en otros campos una parte de la lógica, (al menos en los grados básicos), elegir una u otra no importa demasiado ( $\longleftrightarrow $ o $\iff $ son sólo traducciones matemáticas "perezosas" del simple conector inglés "if and only if").

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mweiss Puntos 6697

Como se ha mencionado en los comentarios, es casi seguro que se trata de un uso idiosincrático, y el autor (¿es esa la palabra correcta para alguien que hace un vídeo en YouTube? Probablemente no) debería haber explicado qué pretendía que significara el símbolo. Sin ningún contexto adicional, es difícil saberlo con certeza, pero voy a aventurar que el símbolo pretende denotar "son equivalentes" en algún sentido (quizás mal definido). ¿En qué sentido? Probablemente en el sentido de "equiconvergencia", es decir, que su comportamiento de convergencia es equivalente (uno de ellos converge si y sólo si el otro lo hace).

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Debra Puntos 2729

Yo lo entiendo como una equivalencia suelta de la convergencia, bajo condiciones específicas que no se mencionan completamente. El presentador escribe que una suma diverge/converge si la integral correspondiente diverge/convierte. No es un "si y sólo si", de hecho esto no es cierto en general.

El $\leftrightarrow$ aparece después del símbolo Prueba integral de Maclaurin-Cauchy para la convergencia (el llamado Teorema integral de Cauchy es muy diferente). La prueba estándar funciona en las siguientes condiciones:

  • $f$ es continua, definida en $[n_0, +\infty [$ para algún número entero $n_0$ ,
  • $f$ es monótona y decreciente.

Entonces la serie infinita $\sum_{n=n_0}^\infty f(n)$ converge a un límite finito si y sólo si ( $\Leftrightarrow$ ) la integral impropia $\int_N^\infty f(x)\,dx$ es finito. Y si la integral diverge, entonces la serie también diverge. Aquí, la prueba funciona para la $p$ -serie , como $t \to \frac{1}{t^x}$ es continua y decreciente para $x >0$ y la convergencia de la serie depende de $x> 1$ o no.

Como se ha mencionado en los comentarios, muchos símbolos matemáticos tienen varias interpretaciones (por ejemplo biyección o bicondicional lógico ).

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