He probado la heurística del método del círculo de Hardy-Littlewood para esta ecuación. La heurística sugiere que el número de soluciones dentro del intervalo $\max\{\vert x\vert,\vert y\vert,\vert z\vert\}<N$ debería ser algo como
$$\sigma_{\infty}\prod_{p}\sigma_p,$$
donde $\sigma_{\infty}$ y $\sigma_{p}$ son la densidad real y las densidades locales.
$$\sigma_{\infty}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\epsilon}\vert\{(x,y,z)\mid\max\{\vert x\vert,\vert y\vert,\vert z\vert\}<N,\vert x^4+y^4+1-z^2\vert<\epsilon\}\vert$$
$$\sigma_p=\lim_{n\rightarrow \infty}\vert\{(x,y,z)\mid x^4+y^4+1\equiv z^2\mod p^n\}\vert/p^{2n}$$
Estas densidades tienen fórmulas explícitas (si las he calculado correctamente)
si $p\equiv 3 \mod 4$ , $$\sigma_p=1-1/p.$$
si $p\equiv 1 \mod 4$ , $$\sigma_p=1+\frac{1+6(-1)^{(p-1)/4}}{p}-\frac{2a}{p^2},$$
donde $p=a^2+b^2$ , $a\equiv 3\mod 4$ .
$\sigma_2=1$ y $$\sigma_{\infty}\approx\frac{B(1/4,1/4)}{2}\log 2N\approx 3.70815\log 2N,$$ donde $B$ es la función beta de Euler.
El producto infinito sobre números primos $p$ no es absolutamente convergente, pero sí es convergente.
$$\prod_{p}\sigma_p\approx 0.0193327$$ .
$(\pm x,\pm y,\pm z)$ y $(\pm y,\pm x,\pm z)$ son todas soluciones de la ecuación diofántica, por lo que el número de soluciones esencialmente diferentes debe ser $$\frac{B(1/4,1/4)}{32}\prod_{p}\sigma_p\cdot\log 2N\approx 0.0044805\log 2N.$$ Por lo tanto, si esta heurística funciona, la primera solución puede ocurrir cerca de $N\sim\exp(1/0.0044805)/2\approx 4\times 10^{96}$ lo que significa $x,y\sim 10^{48}$ . Es posible que las soluciones sean enormes, pero no estoy seguro de que haya otros obstáculos en la ecuación.
Edita: Supongo que las cosas son diferentes para la cuártica de Euler $$x^4+y^4+z^4=w^4.$$ La densidad real de esta superficie sigue siendo $c\log N$ pero el producto infinito sobre primos diverge a $\infty$ . El producto infinito crece como $(\log N)^r$ donde $r$ es un número real. Así que creo que la integral de puntos en la cuártica de Euler es bastante "densa" comparada con $x^4+y^4+1=z^2$ .
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Supongo que se refiere a esto: members.bex.net/jtcullen515/Math10.htm ? Supongo que el motivo de la búsqueda informática es que se trata de un problema abierto del que nadie conoce la respuesta.
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Sí, Hans, ese es su sitio. La ecuación 2 puede resolverse mediante una ecuación de Pell, por lo que tiene infinidad de soluciones enteras positivas. Cullen y yo intentamos encontrar parametrizaciones para p^4+q^2+1 = r^2, con la esperanza de poder especializar "q", pero la identidad fácil que encontré tenía una "q" que nunca era un cuadrado.
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No lo he investigado del todo, pero ¿el modo en que Fermat demostró que no hay soluciones a x^4+y^4=z^2 ayuda para x^4+y^4=z^2-1=(z+1)(z-1)?
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Mod 5 podría ser un buen punto de partida (ya que $\phi(5)=4$ ). A menos que me haya perdido algo, $5|x, y$ y $z=5^{4k}m \pm 1$ Me pregunto si esto ayuda.
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@user9176: esto es fácilmente extensible para concluir $10|x,y$ y que $z \equiv \pm 1 \text { or } \pm 1249 \mod 5000$ .
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@Tito El enlace proporcionado por Hans Lundmark en realidad muestran que no hay soluciones para $0 < x, y < 10^7$ .
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Relevante: mathoverflow.net/q/61794/12357 y meta.mathoverflow.net/q/729/12357