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¿La ecuación $x^4+y^4+1 = z^2$ tienen una solución no trivial?

El trasfondo de esta pregunta es el siguiente: Fermat demostró que la ecuación, $$x^4+y^4 = z^2$$

no tiene solución en los números enteros positivos. Si consideramos la casi solución, $$x^4+y^4-1 = z^2$$

entonces esto tiene bastante (de hecho, un infinito, ya que puede ser resuelto por una ecuación de Pell). Pero J. Cullen, mediante una búsqueda exhaustiva, encontró que el otro casi, $$x^4+y^4+1 = z^2$$

no tiene ninguna con $0 < x,y < 10^6$ .

¿La tercera ecuación realmente no tiene ninguna, o las soluciones son simplemente enormes?

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Supongo que se refiere a esto: members.bex.net/jtcullen515/Math10.htm ? Supongo que el motivo de la búsqueda informática es que se trata de un problema abierto del que nadie conoce la respuesta.

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Sí, Hans, ese es su sitio. La ecuación 2 puede resolverse mediante una ecuación de Pell, por lo que tiene infinidad de soluciones enteras positivas. Cullen y yo intentamos encontrar parametrizaciones para p^4+q^2+1 = r^2, con la esperanza de poder especializar "q", pero la identidad fácil que encontré tenía una "q" que nunca era un cuadrado.

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Andy McCluggage Puntos 8583

Un dato curioso. Suponiendo que un conjetura de Tyszka entonces "sólo" hay que buscar hasta $10^{38.532}$ para determinar si la ecuación tiene un número finito de soluciones.

( Editar : La conjetura de Tyszka es falsa, ver http://arxiv.org/abs/1309.2682 para más detalles).

Expresa la ecuación como un sistema de forma restringida:

$x_1=1,$
$x_3=x_2*x_2,$
$x_4=x_3*x_3$ (aquí $x_2$ es el $x$ en la ecuación original),
$x_6=x_5*x_5,$
$x_7=x_6*x_6$ (aquí $x_5$ es el $y$ ),
$x_9=x_8*x_8,$ (aquí $x_8$ es el $z$ )
$x_{10}=x_4+x_7,$
$x_{10}=x_9+x_1$ (esto lo une todo).

Esto requiere 10 variables, por lo que es un subconjunto del sistema de Tyszka $E_{10}$ . Según la conjetura de Tyszka, si este sistema tiene un número finito de soluciones en los números enteros, entonces cada solución tiene asignada a cada variable un valor con valor absoluto como máximo $2^{2^{n-1}}=2^{512}$ . Por lo tanto $|x|^4,|y|^4,|z|^2 \le 2^{512}$ así que $|x|,|y|\le 2^{128}\lt 10^{38.532}$ .

Obsérvese que hay una gran diferencia entre $10^6$ y el límite dado por la conjetura de Tyszka. Aunque la conjetura se mantiene había celebrado puede haber infinitas soluciones, pero la más pequeña puede tener $x,y>10^{38.53}$ .

El mensaje aquí es sólo que la búsqueda del intervalo de $0$ a $10^6$ no es suficiente.

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¿Puede ser cierto lo de Tyszka? ¿Por qué no contradice inmediatamente la solución del 10º problema de Hilbert, ya que se podría comprobar que cualquier ecuación diofantina sin solución no la tiene verificando hasta $2^2^{n-1}$ de esta manera?

6voto

He probado la heurística del método del círculo de Hardy-Littlewood para esta ecuación. La heurística sugiere que el número de soluciones dentro del intervalo $\max\{\vert x\vert,\vert y\vert,\vert z\vert\}<N$ debería ser algo como

$$\sigma_{\infty}\prod_{p}\sigma_p,$$

donde $\sigma_{\infty}$ y $\sigma_{p}$ son la densidad real y las densidades locales.

$$\sigma_{\infty}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\epsilon}\vert\{(x,y,z)\mid\max\{\vert x\vert,\vert y\vert,\vert z\vert\}<N,\vert x^4+y^4+1-z^2\vert<\epsilon\}\vert$$

$$\sigma_p=\lim_{n\rightarrow \infty}\vert\{(x,y,z)\mid x^4+y^4+1\equiv z^2\mod p^n\}\vert/p^{2n}$$

Estas densidades tienen fórmulas explícitas (si las he calculado correctamente)

si $p\equiv 3 \mod 4$ , $$\sigma_p=1-1/p.$$

si $p\equiv 1 \mod 4$ , $$\sigma_p=1+\frac{1+6(-1)^{(p-1)/4}}{p}-\frac{2a}{p^2},$$

donde $p=a^2+b^2$ , $a\equiv 3\mod 4$ .

$\sigma_2=1$ y $$\sigma_{\infty}\approx\frac{B(1/4,1/4)}{2}\log 2N\approx 3.70815\log 2N,$$ donde $B$ es la función beta de Euler.

El producto infinito sobre números primos $p$ no es absolutamente convergente, pero sí es convergente.

$$\prod_{p}\sigma_p\approx 0.0193327$$ .

$(\pm x,\pm y,\pm z)$ y $(\pm y,\pm x,\pm z)$ son todas soluciones de la ecuación diofántica, por lo que el número de soluciones esencialmente diferentes debe ser $$\frac{B(1/4,1/4)}{32}\prod_{p}\sigma_p\cdot\log 2N\approx 0.0044805\log 2N.$$ Por lo tanto, si esta heurística funciona, la primera solución puede ocurrir cerca de $N\sim\exp(1/0.0044805)/2\approx 4\times 10^{96}$ lo que significa $x,y\sim 10^{48}$ . Es posible que las soluciones sean enormes, pero no estoy seguro de que haya otros obstáculos en la ecuación.


Edita: Supongo que las cosas son diferentes para la cuártica de Euler $$x^4+y^4+z^4=w^4.$$ La densidad real de esta superficie sigue siendo $c\log N$ pero el producto infinito sobre primos diverge a $\infty$ . El producto infinito crece como $(\log N)^r$ donde $r$ es un número real. Así que creo que la integral de puntos en la cuártica de Euler es bastante "densa" comparada con $x^4+y^4+1=z^2$ .

4voto

Goofy Puntos 119

Edición: La pregunta se refiere a una ecuación diferente de lo que pensé cuando la leí por primera vez. Voy a dejar esto de todos modos porque algunas personas que leen la pregunta pueden estar interesados.


En el sitio web http://sites.google.com/site/tpiezas/009 aparece la identidad:

$$(17p^2-12pq-13q^2)^4 + (17p^2+12pq-13q^2)^4 = (289p^4+14p^2q^2-239q^4)^2 + (17p^2-q^2)^4$$

(17*p^2-12*p*q-13*q^2)^4 + (17*p^2+12*p*q-13*q^2)^4 = (289*p^4+14*p^2*q^2-239*q^4)^2 + (17*p^2-q^2)^4

Eso está comprobado.

Se puede resolver la ecuación de Pell $q^2 - 17 p^2 = \pm 1$ por ejemplo (p,q) = (0,1),(1,4),(8,33),(65,268),... que conducen a infinitas soluciones de la ecuación diofántica:

  • $13^4 + 13^4 = 239^2 + 1$
  • $239^4 + 143^4 = 60671^2 + 1$
  • $16237^4 + 9901^4 = 281275631^2 + 1$

No sé si todo son soluciones. Sospecho que sí. Gracias a Henry, ¡no son todas las soluciones!

4 votos

Hay una lista de pequeñas soluciones para $x^4+y^4=z^2+1$ en el sitio enlazado por Hans Lundmark . El más pequeño es $5^4+7^4=55^2+1$

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