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Teorema de la estructura por grupos de torsión abelianos finitamente generados no

Que saber sobre el Teorema de la estructura para grupos abelianos finitamente generados.

Me pregunto si existe un teorema de estructura similar para grupos abelianos finitamente generados no. En particular, estoy interesado en grupos de torsión. ¿Tal vez tener un exponente finito ayuda?

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Una torsión de abelian grupo siempre puede ser descompuesto en sus $p$-partes: dado un grupo abelian $A$, y una de las principales $p$, vamos $$A_p = \{a\in A\mid \mbox{el orden de $a$ es una potencia de p$$}\}.$$ Entonces $A_p$ es un subgrupo de $A$, cada uno tiene trivial intersección con el subgrupo generado por todos los demás, por lo que el subgrupo que generan es isomorfo a su suma directa; y así $$\Bigl\langle A_p\;\Bigm|\; \mbox{$p$ prime}\Bigr\rangle = \mathop{\oplus}\limits_{p}A_p \leq A,$$ donde $p$ rangos de todos los números primos.

Dado cualquier $a\in A$, ya que $a$ es de torsión, $un$ puede ser escrita como una suma de elementos de $A$, cada uno de los cuales tiene el fin de una fuente primaria de energía, por lo que tenemos $$A = \mathop{\oplus}\limits_{p} A_p,$$ donde $p$ rangos de todos los números primos.

Dos de torsión abelian grupos son isomorfos si y solo si $p$-componentes son isomorfos. Así el problema se reduce a la clasificación de abelian $p$-grupos.

Luego puede descomponer el grupo en su divisible y su parte reducida, $A = A_{\mathrm{div}}\oplus A_{\mathrm{rojo}}$ (recordemos que un grupo abelian $A$ es divisible entre si, y sólo si para todo $a\in A$ y cada entero positivo de $n$, existe un elemento $x\in A$ tal que $nx=$; un grupo abelian $A$ es reducido si su mayor divisible subgrupo es el trivial grupo). Ya que cada divisible abelian grupo es una suma directa de copias de $\mathbb{Q}$ y copias de la Prüfer grupos de $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ para diferentes números primos, en el $p$-grupo de torsión caso de que su divisible parte sólo será una suma directa de (posiblemente infinitos) copias de $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$.

Dos abelian grupos son isomorfos si y sólo si sus divisible partes son isomorfos, y su reducida partes son isomorfos. Así que el problema está abajo a la reducción de abelian $p$-grupos.

(Lo siguiente se puede encontrar en Rotman de la Introducción a la Teoría de Grupos, 4ª Edición, Capítulo 10).

En el caso de los delimitada exponente, no hay ningún problema: Prüfer (1923 por grupos contables) y Baer (1934 para el caso general) demostró que:

Teorema. (Prüfer, Baer) Si $a$ es un grupo abelian de limitada exponente (es decir, existe $n\gt 0$ tales que $na=0$ para todo $a\in A$), entonces $A$ es una suma directa de grupos cíclicos.

Así que si el exponente de la reducción de la parte es acotado, es sólo una suma de grupos cíclicos (necesariamente de $p$-el poder de la orden). Y luego, contando con cardinalidad, se obtiene que las dos son isomorfos si y sólo si tienen el mismo número de sumandos de cada pedido.

Sin embargo, las cosas se ponen más complicadas en esta etapa.

Algunos de los resultados: para el número entero no negativo de $n$, definir $U\{n,\}$ que $$U\{n,\}= \dim_{\mathbf{F}_p}\left(\frac{p^nA\cap[p]}{p^{n+1}\cap[p]}\right)$$ donde $A[p]$ es el subgrupo de elementos tales que $pa=0$. Si $a$ es una suma de grupos cíclicos, luego $U\{n,\}$ es el número de cíclico sumandos de orden $p^{n+1}$.

En 1933, Ulm demostró que existe un transfinito versión de estos números, con $n$ que van más números ordinales, llamado el Ulm invariantes. Dos contables de torsión abelian $p$-los grupos son isomorfos si y sólo si sus Ulm invariantes son iguales. (El resultado no se extiende a innumerables grupos). Prüfer demostrado que los contables de abelian $p$-grupo es una suma directa de grupos cíclicos si y sólo si $\carpeta cap_{n=1}^{\infty}p^nA = 0$ (de nuevo, falso por innumerables grupos). Kulikov caracteriza a los grupos que están directa sumas de grupos cíclicos.

Tenga en cuenta que Prüfer el resultado le da a usted que en los contables reducido caso de conseguir una suma directa de grupos cíclicos (un elemento de la intersección tendría necesariamente un $p^i$th raíz por cada $i$, y el ser de orden una potencia de $p$, tendría $n$th raíces para todo $n$, de ahí a tomarlo y su $n$th raíces de obtener un múltiplo de los subgrupos, por lo que desde el $A$ se reduce el elemento debe ser trivial). Así que en realidad, los problemas empiezan a aparecer cuando usted va a las incontables caso. Que el argumento es incorrecto, tomando $x$ y $p^i$th raíces no conduce necesariamente a un múltiplo subgrupo, porque usted no puede ser capaz de elegir un sistema de $p^i$th raíces que va "todo el camino hasta $\infty$". E. g., usted podría tener countably muchos diferentes $p$th raíces, de tal manera que el $i$th $p$th raíz tiene un $p^{i-1}$th root pero no $p^i$th raíz; usted podría terminar con un elemento que tiene $n$th raíces para todo $n$, pero las raíces mismas no tienen $$n th raíces para todo $n$, por lo que el subgrupo en realidad, no es divisible. Lo siento, y gracias a Jack para el heads up.

Añadido. También hay un teorema de Kulikov:

Teorema (Kulikov, 1945) de torsión de Cada grupo abelian $A$ es una extensión de una suma directa de grupos cíclicos por un múltiplo de grupo.

Usted podría estar tentado a saltar a la conclusión de que esto significa que la reducción de la parte de los $p$-componente de $A$ le que ser necesariamente una suma directa de grupos cíclicos (ya que no tiene la trivial divisible subgrupo), pero el problema es que un reducido grupo puede tener divisible cocientes (incluso si es de torsión), por lo que este no es el caso. Para un ejemplo de un grupo reducido con una divisible cociente, tomar $$A = \mathop{\oplus}\limits_{n=1}^{\infty}C_{p^n},$$ donde $C_{p^i}$ es un grupo cíclico de orden $p^i$, generada por $x_i$. Tenga en cuenta que $A$ es reducido. Pero si nos vamos a $$B = \bigl\langle x_1-px_2,\ x_2-px_3,\ \ldots, x_n-px_{n+1},\ldots\bigr\rangle,$$ entonces $/B$ es isomorfo al grupo de Prüfer $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$, que es divisible. Así Kulikov del teorema da una diferente manera de pensar acerca de la reducción de la parte, como una extensión.

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Jonik Puntos 7937

Para complementar Arturo excelente estudio de los fundamentos de abelian p-grupos: Un útil de la encuesta de la tarde (1960-2000) desarrollo de la teoría de abelian p-grupos se da en:

Hill, Paul. "El desarrollo de la teoría de la p-grupos." Rocky Mountain J. Math. 32 (2002), no. 4, 1135-1151. MR1987598 DOI:10.2307/1999950.

Yo personalmente disfrutado de la anterior teoría mucho más (Kulakoff, Prüfer, Zippin, Ulm), que se reunió en el libro de texto de formulario por Fuchs y Kaplansky. Sin embargo, muchos de los resultados positivos y negativos se lograron después de entonces, así que si usted no se desanime por los varios cientos de páginas de los libros de texto por Fuchs, Kaplansky, y Griffith, a continuación, la encuesta tiene un montón de papeles importantes más allá de los libros de texto de nivel.

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