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Fundación para el análisis sin el axioma de elección?

Digamos que yo considero que es el de Banach–Tarski paradoja inaceptable, lo que significa que más bien me gustaría hacer todos mis matemáticas sin usar el axioma de elección. Como mi fundación, me es de suponer que el uso de ZF ZF, además de otros axiomas, o un enfoque en el que los conjuntos no eran fundamentales.

Supongamos que todo lo que quiero es suficiente análisis para expresar todas las teorías existentes en la física. Es ZF suficiente? Si no, entonces hay ningún atractivo, utilitarios del sistema de la forma ZF+x, donde x representa algún otro axioma(s), que es suficiente, sin dejar de Banach-Tarski?

Wikipedia tiene una lista de afirmaciones que son equivalentes a elección: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice#Equivalents El único que parece, obviamente, es relevante Blass el resultado que usted necesita elección para demostrar que todo espacio vectorial tiene una base. Pero si todo lo que me interesa es el vector de los espacios que en realidad iba a ser utilizado en la física (que, probablemente, nada más elegante que el espacio de funciones de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$), ¿importa esto? I. e., son los espacios para el que necesita elección para demostrar la existencia de una base demasiado patológicos de interés para un físico? En los casos de física de interés, parece que sería trivial para la construcción de una base de forma explícita.

Es Solovay del teorema de relevante? Estoy confundido sobre el papel desempeñado por la existencia de inaccesible cardenales.

Soy un físico, no un matemático, por lo que agradecería respuestas acamparon en el nivel de un diletante, no la de un profesional de la lgica.

[EDITAR] André Nicolas le pregunta: "[ ... ] ¿por qué debería de Banach-Tarski ser inaceptable?" Justo lo suficiente. Permítanme tratar de aclarar lo que yo tenía en mente. El número real de sistema contiene material que es físicamente sin sentido, pero (a) tengo una idea clara de cuáles de sus características se puede, no quiere decir nada físico (por ejemplo, la distinción entre racionales y irrationals), y (b) las matemáticas en $\mathbb{Q}$ sería mucho menos conveniente de hacer matemáticas en $\mathbb{R}$. Del mismo modo, yo prefiero pensar de mi $dy$s y $dx$'s como infinitesimals, y aunque son no físico, entiendo lo no físico sobre ellos, y son prácticos. Pero cuando se trata de la elección, no es obvio para mí cómo distinguir físicamente significativa consecuencias de física de sentido, y no es obvio que iba a perder ninguna comodidad por limitándome a ZF.

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Oli Puntos 89

Una pregunta interesante, que necesitaría muchas páginas para comenzar a responder! Hacemos un pequeño inconexos serie de comentarios.

En los últimos años, ha habido un programa sistemático, iniciado por Friedman y generalmente se llama Inversa de las Matemáticas, para descubrir exactamente cuánto tenemos que probar varios teoremas. La respuesta aproximada es que para muchas cosas importantes, necesitamos mucho menos de ZFC. Para muchas cosas, lleno de ZF es enorme exageración. Pequeños fragmentos de segundo orden de la aritmética, junto con una muy limitada versiones de AC, a menudo son suficientes.

Sobre el Axioma de Elección, para un poco justo de análisis básico, es agradable tener Contables Elección, o Dependiente de la Elección, al menos para algunos tipos de conjuntos. Realmente queremos, por ejemplo, secuencial continuidad en los reales a ser equivalente a la continuidad. Uno podría hacer esto sin la DC, pero DC no suena razonable para muchas personas que tienen un cierto malestar con el total de CA. Esto fue muy ilustrado en los primeros $20$-th siglo. Un número de matemáticos que habían públicamente se opuso a CA resultó involuntariamente usado alguna forma de CA en su trabajo publicado.

Siguiente, bases. Para finito dimensionales espacios vectoriales, no hay ningún problema, no tenemos ninguna forma de CA (aunque sorprendentemente podemos hacer para demostrar que la Dedekind definición de lo finito, es equivalente a la definición habitual.)

Para algunos de infinitas dimensiones espacios vectoriales, no podemos demostrar la existencia de una base en ZF (supongo que tengo que añadir la habitual advertencia "si ZF es consistente"). Sin embargo, una expresión algebraica no es generalmente lo que necesitamos en el análisis. Por ejemplo, a menudo expresamos funciones interesantes como $\sum_0^\infty a_nx^n$. Este es un infinito "sum". La misma observación puede hacerse respecto de series de Fourier. Cierto, debemos utilizar una expresión algebraica base de $\mathbb{R}$ más de $\mathbb{Q}$ para mostrar que no son extrañas las soluciones a la ecuación funcional de $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Pero son estas extrañas soluciones de cualquier tipo de uso en la Física?

Por último, ¿por qué debería el de Banach-Tarski resultado ser inaceptable para un físico como el físico? Es fácil demostrar que los conjuntos de la descomposición puede ser medible. En los modelos matemáticos de situaciones físicas, que no son medibles de conjuntos de puntos en $\mathbb{R}^3$, aparecen siempre?

20voto

DanV Puntos 281

Blass del teorema es muy fuerte, de hecho. Si el axioma de elección no se sostiene, a continuación, hay un espacio vectorial sin una base. Es inusual que poder y saber cual de espacio vectorial es (a menos que asumiendo más, o la construcción del modelo directamente).

En particular, finito dimensionales espacios vectoriales siempre tienen una base, ya que la base es finito y por lo tanto completamente definible en el universo.

La mayoría de los análisis básicos requeriría el axioma de contables de la elección, o el axioma de dependiente de la elección. Ambos sería suficiente para casi todos teorema de aprender básica de la clase de cálculo, pero tampoco es suficiente para Banach-Tarski. Usted puede desear agregar algo como el ultrafilter lema, sin embargo una vez que hay un libre ultrafilter más de $\mathbb N$ hay innumerable conjuntos - si eso le molesta.

En general, para probar que un espacio tiene una base puede requerir algunas elección, por ejemplo, $\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ requiere de la elección. Sin embargo, si su interés es en finitely dimensiones de espacios vectoriales, a continuación, usted puede relajarse, ya que los que iba a estar bien, sin importar el axioma de elección. Hay infinitamente espacios dimensionales explícitos, como, por ejemplo, todas las infinitas secuencias que finalmente son cero.

Una vez que usted vaya más allá de la que se vuelve más y más difícil producir una base sin el axioma de elección, sino que sus necesidades pueden no ir tan lejos.

Por Solovay del teorema supongo que te refieres a su modelo en el que cada conjunto es medible, y tal. Esto es irrelevante, y en el hecho de que cuenta con un terrible secreto:

En Solovay del modelo podemos cortar $\mathbb R$ en más partes, tiene elementos. Es decir, podemos cortar $\mathbb R$ en no-partes vacías y tienen más partes de los números reales. Este tipo de partición puede sonar muy extraño y patológicos, como la de Banach-Tarski paradoja. Sin embargo dichas particiones pueden ser un puñado en algunas partes de la teoría de conjuntos.


Es posible que desee pensar que estás jodido colocando a sí mismo en ZF de cualquier manera, pero el problema es que las matemáticas tienen casi siempre de esta manera a picar en la parte de atrás, no importa cómo usted lo pone. Usted puede poner simplemente "nuevas limitaciones" (por ejemplo, ponerse un límite de conjuntos medibles, que todavía te da un mundo rico y pleno) y sólo tiene que utilizar las matemáticas como usted quería.

Uno de los menos conocidos hechos acerca de la elección es que las definiciones de continuidad: $\epsilon\delta$ y secuencial de la continuidad no equivalente sin alguna opción. Si usted ha usado antes, usted han usado el axioma de elección.

El punto anterior es que el axioma de elección, que simplemente nos permite controlar muchos infinitary procesos de una manera muy simple. Mientras la física en sí no realmente hablar de infinito procesos (al menos no que yo sepa) usted debe ser capaz de salirse de que si se zanja el axioma de elección. Sin embargo, es posible que desee mantener lo suficiente como para asegurarse de que lo que han aproximada con finito de piezas de forma continua realizada por el punto límite. Este es en esencia el principio de la dependiente de la elección (y en menor medida el axioma de contables de elección).


Algo para Leer:

  1. Finito de dimensiones de los subespacios de un espacio lineal
  2. Finito elección sin AC
  3. ¿Por qué preocuparse por el axioma de elección?
  4. ¿El Axioma de Elección (o cualquier otro "opcional" axioma de la teoría de conjuntos) tienen consecuencias reales? [cerrado]

11voto

Michael Greinecker Puntos 19016

Esta respuesta consiste básicamente de dos observaciones.

Primero: Si usted encuentra Banach-Tarski inaceptable y desea asegurarse de que usted vive en un mundo sin esas descomposiciones, dejando caer el axioma de elección no es suficiente. Desde el axioma de elección es coherente, no se puede probar que no es de Banach-Tarski descomposición al acecho en algún lugar. Lo que usted necesita es una teoría en la que se asume que algo que abiertamente contradice el axioma de elección.

Hay axioma sistemas que hacer eso y te dan un número de "agradable" consecuencias. Por ejemplo, suponiendo ZF+Dependiente de la Elección de+Cada conjunto de números reales que tiene la propiedad de Baire, conduce a varios conveniente resultados. Por ejemplo, puede mostrar que cada dos normas en el mismo espacio vectorial darle la misma topología. Usted puede encontrar más resultados en este maravilloso libro.

La desventaja de hacer una suposición es que es ot tan claro cómo ver el conjunto correspondiente teórico del universo. El axioma de elección parece ser una consecuencia natural de la noción de un "conjunto arbitrario". El problema puede estar en cómo incrustar su teoría física en la teoría de conjuntos, no con el conjunto de la teoría misma. Que lleva a mi segundo comentario.

Segundo: Ser muy cuidadosos de que los objetos matemáticos que están trabajando con tener significado físico, debe llevar a no inmiscuirse en los fundamentos de las matemáticas, pero toembracing la teoría de la medición, donde se han teoría explícita de lo que es significativo. Usted puede encontrar una lectura primera introducción, aquí y aquí.

5voto

sewo Puntos 58

Una respuesta posible (aunque hay fuertes argumentos que se deja de lado la pregunta en lugar de responder) sería suficiente para trabajar en ZF + "ZF es consistente".

Esto depende de el punto de vista de que una teoría física es sólo una caja negra matemática mecanismo en el que usted puede pegar una descripción de un experimento y obtener una predicción de sus resultados. Ahora considere la posibilidad de cualquier teoría física que dice "hacer tal y tal, trabajo en ZFC".

Ahora, ya que en ZF+Con(ZF) podemos demostrar que ZFC es consistente y por lo tanto tiene un modelo, por el contrario, podemos cambiar nuestra teoría física "hacer tal y tal dentro de un modelo de ZFC". Esto produciría el mismo resultado que antes. La única pega es que hay varios modelos de ZFC, que puede que no todos dan el mismo resultado, pero uno siempre puede especificar un modelo en particular para hacer los cálculos, tales como una adecuada plazo especificado de modelo.

Si desea mantener cualquier intuitiva visión de cómo funciona el mundo real que puede ser extraído de la estructura matemática de la teoría física, podría ser un asunto diferente. :-)

2voto

En un lugar de nivel básico, ZF no es suficiente ya que un estándar de hecho se utiliza en muchas aplicaciones, es decir, el contable de la suma de la medida de Lebesgue, falla en ZF debido a la Feferman-Levy modelo; consulte http://mathoverflow.net/questions/146813/is-sigma-additivity-of-lebesgue-measure-deducible-from-zf

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