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Aplicaciones de la Topología Algebraica a la física

Siempre me he preguntado acerca de las aplicaciones de la Topología Algebraica a la Física, a ver como estoy estudiando la topología algebraica y la física es fresco y bastante. Mi primera reflexión sería que, dado que la mayoría de los invariantes y construcciones en topología algebraica no puede saber la diferencia entre una línea y un punto y $\mathbb{R}^4$ entonces, ¿cómo podemos conseguir cualquier cosa físicamente útiles?

Por supuesto, sabemos que esto es incorrecto. O, al menos, me dicen que es incorrecto ya que varias personas me dicen que ambos se utilizan. Me encantaría ver algunos ejemplos de aplicaciones de la topología o la topología algebraica para obtener resultados reales o conceptos aclaró en la física. Un ejemplo que yo siempre aquí es "K-teoría es el receptáculo apropiado para el cargo" y tal vez alguien podría empezar por elaborar.

Estoy seguro de que hay otros ejemplos comunes que me falta.

22voto

Philippe Gerber Puntos 181

Primero una advertencia: yo no sé mucho acerca de la topología algebraica o sus usos de la física, pero sé de algunos lugares, así que espero que usted encontrará útil.

Defectos topológico en el espacio

El estándar (pero muy agradable) ejemplo es Aharonov-Bohm efecto que considera un solenoide y una partícula cargada. Idealizando la situación deje que el solenoide ser infinita por lo que usted obtendrá ${\mathbb R}^3$, con una línea quitado.

Debido a que la partícula cargada se transforma en virtud de la $U(1)$ teoría de gauge. Más precisamente, su fase será paralelo transportados a lo largo de su trayectoria. Si la ruta incluye el solenoide, a continuación, la fase en la que se trivial, mientras que si no lo encierre, la fase será de cero. Esto es debido a que $$\phi \propto \oint_{\S parcial} {\mathbf Un} \cdot d{\mathbf x} = \int_S \nabla \times {\mathbf Un} \cdot d{\mathbf S} = \int_S {\mathbf B}\cdot d{\mathbf S}$$ y tenga en cuenta que $\mathbf B$ se desvanece fuera del solenoide.

El remate es que, debido al argumento anterior de la fase factor es un invariante topológico para las rutas que van entre dos puntos fijos. Así que esto va a producir una interferencia entre topológicamente distinguibles de las rutas de acceso que se puede tener en una fase diferente del factor).

Instantons

Un lugar donde homotopy aparece son Instantons en teorías gauge.

Específicamente, si usted se considera una de Yang-mills teoría en ${\mathbb R}^4$ (así que esto significa Euclidiana tiempo) y desea que la solución (que es una conexión) para tener una energía finita, a continuación, su curvatura tiene que desaparecer en el infinito. Esto le permite restringir su atención a los $S^3$ (aquí es donde el término instanton proviene; es localizada) y aquí es donde homotopy entra a decirle a usted acerca de topológicamente no equivalentes formas en que el campo se puede envolver alrededor de $S^3$. Cosas como estas son muy grandes en la física moderna (tanto QCD y la teoría de las cuerdas) porque instantons darle una manera de hablar acerca de la no-perturbativa de los fenómenos en QFT. Pero me temo que realmente no puedo decir nada más que esto. (Espero que me pondré a estudiar estas cosas más a mí mismo).

TQFT

El último punto (que yo sepa casi nada) se refiere a la Teoría Cuántica de campos Topológica como Chern-Simons teoría. Estas de nuevo surgen en la teoría de cuerdas (como todos los de la matemática moderna). Y de nuevo, siento no puedo decir más que esto.

13voto

icelava Puntos 548

El fermión operadores de obedecer a $b^2~=~{b^\daga}^2$ $=~0$. Esta es una forma de la regla d^2 = 0. La supersimetría permiso de un cohomology de los estados $\psi~\~ker(P)/im(Q)$, que es un cohomology. El $Q$ obedece a $P^2~=~0$, estados físicos obedecer $Q\psi~=~0$, pero donde $\psi~\ne~Q\chi$. Esta es la base de BRST (i Becchi, Rouet, Stora y Tyutin) cuantización.

9voto

KevinUK Puntos 1886

Sean,

lo siento, estoy respondiendo a una vieja pregunta, pero tengo un muy buen ejemplo de una aplicación de avanzadas topología algebraica en la física (física visto en los experimentos, no arbitraria teorías especulativas). Es el recién descubierto "los aislantes topológicos".

Uno puede topológicamente clasificar gratis Hamiltonianos (hermitian matrices/operadores) como una función de las diferentes clases de simetría y la dimensión espacial. Resulta que esto se puede hacer utilizando topológica de la K-teoría (véase la tabla periódica en http://arxiv.org/abs/1002.3895 ; tabla 1 en la página 8). Hay una doble periodicidad en la simetría de las clases y dimensión, procedente de la Bott-la periodicidad de los complejos K-teoría (clasificación de vector complejo haces hasta equivalencia estable). Y no es un ocho veces la periodicidad en la otra simetría-clases procedentes de la Bott-periodicidad de la real K-teoría. Ver más información aquí: http://arxiv.org/abs/0901.2686 y http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/6/065010 de acceso libre para ambos).

Además, debo mencionar que el 10-simetría clases matemáticamente se originan a partir de Cartans clasificación de los simétrica de los espacios y las etiquetas en la mencionada tabla, viene de esta clasificación.

(Acabo de ver que los aislantes topológicos se mencionó anteriormente, pero no de estos aspectos).

8voto

dbkk Puntos 5305

Marek y Eric han dado buenas respuestas. Creo que muchos de los físicos de partículas encontró por primera vez homotopy teoría en el contexto de los monopolos magnéticos. Tomar el Modelo Estándar de calibre grupo $H=SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ e incrustarlo en una TRIPA de calibre grupo $G$, tales como $SU(5)$ o $SO(10) dólares. Suponiendo que no hay accidental de la degeneración, el espacio de los mínimos de la ruptura de simetría potencial es el coset $G/H$. Estática, finito de configuraciones de energía debe acercarse a un punto en $G/H$ espacial infinito y así se clasifican por $\pi_2(G/H)$ que igual que $\pi_1(H)$ a condición de que $\pi_1(G)= 0$. Desde $\pi_1(H)=\mathbb{Z}$ no es un número entero con valores de carga topológica de estas configuraciones, que resulta ser monopolo magnético de carga. Sidney Colemans conferencias ( http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img/allpdf?198211084 ) explicar esto con mucho más detalle. De la materia condensada, los sistemas tienen una gama mucho más amplia de "Higgs" campos (es decir, los parámetros de orden) y por lo tanto tienen mucho más interesante y complicada ruptura de la simetría de los patrones y de una mucho más rica clasificación de defectos topológicos por homotopy grupos. Mermin tiene una muy buena reseña aquí: http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i3/p591_1 .

2voto

Tom Puntos 5872

Todos los de Marek ejemplos son buenas. (Tuve que escribir una nueva respuesta debido a limitaciones de espacio en los comentarios.) Instantons son, probablemente, el mejor lugar para explorar esta relación. Las ecuaciones de Maxwell en el vacío de leer dF = 0 y d*F = 0, donde F es la intensidad de campo tensor. La carga de una partícula (por la ley de Gauss) puede ser obtenida mediante el cálculo de la integral de *F, en un entorno esfera, mientras que la carga magnética (siempre cero, ya que aún no hemos observado los monopolos magnéticos de forma fiable) es la integral de F. Ahora bien, si estás estudiando topología algebraica, F es la Chern forma de la conexión definida por el medidor de campo (vector potencial), es decir, que representa la primera clase de Chern de este paquete. Este es el primer ejemplo de cómo una característica de la clase-que mide la topológico tipo de paquete, que aparece en la física cuántica número, carga magnética.

De hecho, en la teoría cuántica de campos que se indique para integrar a través de TODAS las conexiones, incluyendo aquellos para topológicas diferentes tipos de paquetes, para que el espacio de configuración tiene diferentes componentes. El mínimo (Euclidiana) configuraciones de energía en los diferentes componentes se denominan "instantons."

Hay muchos otros ejemplos que implican ligeramente exótico teorías de la física.

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