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Hay una función discontinua en el plano de tener derivadas parciales de todos los pedidos?

Si uno requiere simplemente la existencia de derivadas parciales de primer orden en lugar de todos los órdenes, a continuación, un ejemplo es la función

$$ f(x,y) = \left\{\begin{array}{l l} \frac{2xy}{x^2+y^2} & \quad \text{if %#%#%}\\ 0 & \quad \text{if %#%#%} \end{array} \right.$$

Sin embargo, esto no constituye una respuesta a mi pregunta ya que la derivada parcial de $(x,y)\neq(0,0),$ con respecto al $(x,y)=(0,0).$ no existe en el origen.

PS: Esta pregunta se levantaba de mi pregunto si, en la definición de una función suave, la continuidad de los parciales es un requisito esencial o no.

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Kirill Shtengel Puntos 21

Para facilitar la lectura, me TeXified una parte de la lesión.matemáticas post por Dave L. Renfro (este post es un CW).


Lo que sigue es la de La American Mathematical Monthly 67 #8 (octubre de 1960), 813-814.

Discontinua la Función con derivadas Parciales en todas partes 4876 [1959, 921]. Propuesto por Naoki Kimura, de la Universidad de Washington

Si una función con valores de $f(x,y)$ de dos variables reales posee todas sus derivadas parciales $$ \frac{\partial^{m+n} f(x,y)}{\partial x^m \partial y^n}$$ en cada punto, es necesariamente continua?

Solución por John Burr, de la Universidad de Nueva Inglaterra, Australia.

El siguiente ejemplo muestra que la función no necesita ser continua. La función de $$f(x,y) = \begin{cases} \exp\left(-\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}\right) \quad & xy \ne 0 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ es discontinua en a $(0,0)$, ya que el $\lim_{t\to 0}f(t,t) = e^{-2}\ne f(0,0)$. Supongamos que que se ha demostrado que un particular derivada parcial $\phi(x,y)$ tiene las propiedades

  1. $\phi(0,y) = \phi(x,0) = 0$
  2. si $xy \ne 0$ $\phi(x,y) = R(x,y) f(x,y)$ donde $R(x,y)$ es una función racional con denominador de la forma $ x^p y^q$.

Entonces, por 1, $ \phi_y (0,y) = \phi_x (x,0) = 0$; por 2, $\phi_x(0,y) = 0$ al $y \ne 0$, ya que al $x\to 0$, $f(x,y) \to 0$ más rápido que cualquier potencia de $x$. Del mismo modo $\phi_y (x,0) = 0$. Por lo tanto $\phi_x (x,y)$ $\phi_y (x,y)$ ambos tienen la propiedad 1, y está claro que desde 2que ellos también tienen la propiedad 2. Desde $f(x,y)$ tiene estas propiedades, se sigue por la inducción que todas las derivadas parciales tienen ellos, y que estos derivados existen en cada punto.

Cabe señalar que esta función satisface las condiciones más estrictas que las establecidas en el problema; es decir, las condiciones adicionales que la mezcla de derivadas parciales de todos los que existen, y son independientes de la orden en la cual las diferenciaciones se realizan.


Ahora, a la pregunta

si, en la definición de una función suave, la continuidad de los parciales es un requisito esencial o no.

Voy a decir que la definición de suavidad a través de los parciales es un enfoque equivocado, para empezar. La definición debe ser en términos del total de derivados. Entonces uno puede preguntar en su relación con derivadas parciales y obtener resultados tales como: la existencia y la continuidad de los parciales implica la existencia de la total derivado de ese orden.

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Drealmer Puntos 2284

@DavidL.Renfro comentario del enlace da un muy buen ejemplo... Pero/y puede haber alguna razón para dar un complemento de tipo de respuesta. Es decir, si nos fijamos en (digamos templado por simplicidad, para evitar preocuparse suave truncamientos y tal) distribuciones, primero (como calentamiento para el punto que quiero hacer) Clairault del teorema sobre la intercambiabilidad de segundo mixto de parciales se convierte siempre-es cierto, debido a que la transformada de Fourier (templado distribuciones) convierte a $\partial/\partial x$ a una simple multiplicación por $ix$, y del mismo modo para $y$, y de estos operadores de multiplicación sin duda conmutar! En particular, cualquier fallo en contra-ejemplos tiene que estar en una forma que la integración en contra de las funciones de prueba no puede detectar.

De manera similar, con la pregunta en cuestión, en un justo, un poco más sofisticado nivel, un Sobolev involucración con el teorema dice que si $f\in L^2(\mathbb R^2)$$\Delta f\in L^2(\mathbb R^2)$, $f$ es continua. Aquí $\Delta$ es la suma de la segunda puro parciales, como de costumbre. (Además, $f$ puede ser trunca sin problemas, de modo que cualquier obstáculo a la plaza-integrabilidad no está en el infinito, pero sólo local.)

Así, una vez más, para $f$ locales cuadrado integrable (!) compacto respaldado y $\Delta f$ locales cuadrado integrable, $f$ es continua.

Por lo tanto, ejemplos de lo contrario debe tener muy características patológicas, también.

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