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Somos La Enseñanza De Pre-Calc Mal?

Tomó un poco de 1.250 años para pasar de la integral de una ecuación cuadrática a la de un cuarto de grado del polinomio. Cuando nos salta demasiado rápido a la mágica algoritmo, al no reconocer el esfuerzo que se ha invertido en su creación, corremos el riesgo de arrastrar a nuestros estudiantes pasado que la comprensión conceptual. Fuente.

Por el tiempo de Newton y Leibniz fueron el desarrollo de Cálculos matemáticos ya sabía cómo resolver problemas particulares de los derivados y la integración. Hubo un buen entendimiento sobre la manera de resolver los problemas, también. Newton maestro, Isaac Barrow, ya había algunas comprensiones de los temas de Newton iba a empujar a la perfección. Fuente.

Para mí, pre-calc se encontraba y el traqueteo trigonométricas, geométrico y algebraico de ecuaciones. Libros de matemáticas seguir un lugar angosto y estrecho camino a través de algunos imaginarios de frontera de la provincia de pre-cálculo en el cálculo. Como se ha mencionado ya, que la transición histórica fue todo menos discreto. Debe Pre-Calc enseñar los fundamentos del teorema fundamental del cálculo que se conoce Pre-Lebniz/Newton? Creo que energizaría lo que es un ejercicio aburrido en el tedioso cálculo.

Un bello ejemplo de una Pre-Leibniz integración: se dio cuenta de Que $\int \frac 1x dx =\ln(x)+c$?

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Halfgaar Puntos 2866

Somos de la enseñanza de matemáticas equivocado en muchas, muchas maneras.

Por alguna razón, no ha sido un histórico de la reacción en contra de la abstracción en la educación secundaria y pre-secundaria matemáticas. "Nunca voy a necesitar usar este", dicen muchos estudiantes y padres de familia.

Como resultado, lo que tenemos que aprender es un manido intento de aplicar los problemas matemáticos "ejemplos del mundo real."

Así que cuando nos enteramos trig, empezamos a hablar acerca de cosas como aprender escaleras contra las casas, y nos dan a los estudiantes la impresión de que para hacer tal cosa, que necesitan para calcular la inversa pecado de la altura sobre la longitud de la escalera.

Por supuesto, por el tiempo que los estudiantes de 14, 15 o 16 años de edad, que probablemente ha visto a alguien lean una escalera contra una casa y no hacer tal cosa.


Pre-cálculo matemáticas es muy interesante porque es la primera oportunidad que uno tiene que aplicar las relaciones y definiciones de los problemas y aprender cómo transformar los problemas complicados que en otros más simples. Esta técnica es fundamental no sólo en matemáticas, sino en el mundo real.

Al mismo tiempo, la detección en tiempo real es a menudo desordenado y caótico. No enseñamos a la biología en el orden en que fue descubierto, principalmente porque hemos asumido un montón de muy mal absurdo para la mayoría de la historia humana.

El histórico factores de motivación no son los mismos que los actuales. Newton y Leibniz fueron tratando de resolver problemas específicos, y necesitaban nuevas matemáticas. Pero hemos solucionado todos los problemas de ahora, por lo que los factores de motivación tal vez han perdido su borde.


En lugar de eso, debemos buscar en su proceso, no su imperativo. Debemos enseñar a los estudiantes a preguntarse si existe una relación significativa entre una función y su pendiente, y si esto puede tener un efecto en el mundo real problema. Debemos enseñar a los estudiantes acerca de cómo podemos inferir nuevas propiedades a partir de un puñado de condiciones bien definidas. Debemos enseñar a los estudiantes a explorar "¿qué pasaría si..."

En lugar de eso, nos enseñan a los estudiantes acerca de las bolas de billar, escaleras de mano, y dos columnas de las pruebas, como si esto tiene alguna relevancia para el mundo real, el mundo matemático, o de cualquier mundo. En definitiva, estamos desperdiciando su tiempo. Así que sí, estamos enseñando mal.


Un lado de la historia: Como un contador parcial-ejemplo... Cuando me sustituir impartido cursos de matemáticas, a menudo tengo clases lleno de "Nivel 2" de los alumnos, que era un PC de la manera de decir "correctivas". Ellos odiaban a su clase, las clases, el trabajo, todo. Así que he utilizado para poner las ecuaciones de Navier-Stokes en el tablero, y yo les decía que quien podría resolverlos iba a ganar, no sólo de $1 millón de dólares, pero la fama eterna.

Les pedí a los estudiantes a nombre de la mayoría de la gente popular que sabían. Ellos me responden con "Avril Lavigne" o "Britney Spears" o alguna de esas.

Les pregunté si sabían que Sophia Loren fue. O Dom Delouise. O Patsy Cline. Nunca han oído hablar de ellos.

Entonces les pregunté si que he oído de Newton. De Einstein. De Riemann. De Euler. Ellos, de hecho, hizo saber sus nombres. Yo les dije que las matemáticas es una de las pocas formas en que su marca puede ser a la izquierda en el mundo de forma permanente. Que si hizo algo verdaderamente grande, que los estudiantes de secundaria en 300 años sería oír tu nombre.

Por supuesto, ninguno de ellos pensó que podía hacer eso. Pero resonó con ellos, porque esto les hizo pensar, "wow, sí, he oído hablar de Newton." Les hizo darse cuenta de que tal vez había algo importante, y que a diferencia de ser un famoso líder mundial, que era algo que estaba casi puramente producto de la auto-actualización.

En este contexto les dio una visión de un mundo que no sabía que existían. Ninguno de ellos quería para calcular cómo inclinarse una escalera contra una casa. Querían saber por qué la matemática es importante, no microcosmically, pero en el contexto de grandes cosas. Estos fueron los niños pequeños con los grandes pensamientos, no máquinas de cómputo.

Que les dije a los estudiantes que "sí, no importa si usted puede calcular estos números, pero no importa si sabes cómo". Ese concepto solo motivado más que cualquier otra cosa, porque demostró que controla su propio destino.

Para un niño adolescente frustrado con la escuela, que es una sensación maravillosa. La matemática es uno de los pocos campos donde realmente podemos entregar de forma consistente.

15voto

Vedran Šego Puntos 8041

Me gusta @Arkamis respuesta mucho y me gustaría agregar la expansión de la parte final de la respuesta.

Primaria y secundaria de matemáticas de la escuela es a menudo visto como un montón de reglas y fórmulas para resolver ciertos problemas, y muy pocos profesores dan ninguna explicación para aquellos.

Por ejemplo, un colega mío le pidió a su estudiante a lo largo de las líneas de $2^3 \cdot 2^4 = ?$. Él estaba tratando de recordar la fórmula de su escuela secundaria, pero no podía. Luego se fue con $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, entonces $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$, por lo que tenemos un total de $7$ de dos en dos, de modo que la $2^7 = 2^{3+4}$. La respuesta fue, en completo asombro: "¡Wow!" De modo que la fórmula de la que realmente tiene sentido!?!".

Cuando el P. E. es "enseñado", lo habitual es que para aprender lo básico de los pocos deportes, hacer varias gimnasia cosas, correr alrededor de un poco de capacitación de un cuerpo,... ¿por qué las matemáticas no se ve como un polígono para entrenar el cerebro para pensar, sino que es un lugar donde se tratan a verter un montón de críptico cosas en el mismo cerebro?

"Vas a necesitar más adelante en la vida" es una mentira para la mayoría de las matemáticas, a menos que el estudiante es convertirse en un matemático, físico, ingeniero,... Pero, pensando en el fin de resolver los problemas, incluso si no son de la vida real, sería incalculable "en la vida".

Y como el objetivo de la P. E. no está en los resultados que hacen allí (ninguno de la medición de los tiempos de ejecución o subir a alturas jamás va a ser utilizado en cualquier lugar), un montón de teoría y fórmulas no debe ser el objetivo de las matemáticas. Podemos hacer que los niños se ejecutan en el P. E. a entrenar sus cuerpos de una manera determinada, el proceso de la comprensión de cómo y por qué, para entrenar el cerebro, debe ser el objetivo de las matemáticas, no enciclopédico de conocimiento que puede ser encontrado en la Wikipedia y muchos otros sitios.

Los estudiantes no necesitan $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$, pero tienen que entender por qué funciona de esa forma. Ellos necesitan ver que la "prueba" de que funciona para los números naturales, es bueno para ellos pensar cómo podrían extenderse a los números enteros, tal vez incluso racionales y, a continuación, se explica cómo se realiza realmente. Claro, es más fácil simplemente escupir la fórmula, pero tal enfoque se pierde totalmente el punto.

Vale la pena señalar que este es el problema con la mayoría de escolarización. La historia, por ejemplo, a menudo se enseña como una combinación de fechas y nombres. Un montón de aburridas hechos, sin concepto. En mi opinión, es mucho más importante para explicar la forma en que Hitler podría haber sucedido, de lo que es la fecha exacta en la que atacó a Polonia. Es la comprensión de los fenómenos que conducen a un enfoque completamente diferente hacia la Alemania de después de la PRIMERA guerra mundial. Esta explicación es importante y, lo que es más importante para el ámbito de esta discusión, mucho más interesante para los estudiantes.

Geografía... me enseñó mucho el carbón de exportación de Rusia (?!?), pero he aprendido más acerca de los países de "¿Dónde en el Mundo está Carmen Sandiego" que hice en la escuela, igual que he aprendido más historia en 2-3 años de lectura de Agrietado (una comedia sitio!) lo que yo hice en 12 años de primaria+secundaria. En el final, todo lo que quedó fue el desprecio de las cosas que, al igual que muchos estudiantes se quedan con el desprecio por las matemáticas.

"¿Por qué?" es la pregunta más importante en el Mundo, y la mayoría de las escuelas parecen evitarlo. Trate de preguntar a un estudiante "¿por Qué?" para una respuesta (s)escribió en el pizarrón, y van a tratar de inmediato para borrar la respuesta, pensando que "por Qué?" es igual a "Esto está mal". Y que es el verdadero fracaso del sistema escolar.

Un poco de contexto para esta respuesta: nací y crecí en la ex-Yugoslavia y Croacia; he leído acerca de los sistemas de educación en todo el Mundo, pero yo trabajo en la universidad, así que yo no soy parte de la educación escolar, pero yo veo las consecuencias.

12voto

MyPreciousss Puntos 357

En precálculo la verdadera pregunta es ¿podemos corregir los malos hábitos de estudio antes de su demasiado tarde. Por lo que veo ( no enseño personalmente), el principal peligro es la apatía. No creo que datos históricos y/o motivaciones son realmente el problema. Lamentablemente, el problema es soceital (aquí).

Ahora, cuando empiezo cálculo, me tomo unos minutos para dibujar la gran idea. No toma demasiado tiempo. Las historias de los personajes principales son interesantes y trato de volver a ellos de vez en cuando. Dicho esto, creo que sobre el problema de hacer el típico estudiante de caminar los pasos que Isaac caminado (o de Euler, Galois quien sea)... simplemente no es realista suponer el típico estudiante tiene una idea vaga de la ilimitada curiosidad de las personas.

La gente que hace las matemáticas y las personas que hacen (o descubrir si prefiere) no son las mismas. La demarcación no es tan marcado como en blanco y negro, pero sé que a partir de la enseñanza de un par de miles de estudiantes que el porcentaje de ahí que estén realmente interesados es muy pequeña.

Una de las razones por las que me encanta este sitio web es que se me pone en contacto con esa preciosa minoría de estudiantes que realmente disfrutar de las matemáticas, renunciar a cierto grado de búsqueda de requisito.

No quiero a la lluvia en su desfile demasiado, pero creo que es mejor gastar su energía buscando identificar a los estudiantes interesados y trabajar con ellos de uno en uno.

-1voto

Simon D Puntos 1414

Hay una buena cantidad de las matemáticas en la 'shilling arithmethic' de 1951, (un texto escolar), que uno vea los matemáticos lucha con. Por ejemplo, un capítulo entero está dedicado a la idea de las diversas formas de aritmética compuesta (multiplicación y división de una o varias unidades sin conversión).

La idea general de que usted puede tomar un longitudes en estadios y las perchas, y se multiplican estos por medio de una división directamente en acres, roods y perchas, whthout conversiones, que parece totalmente ajeno en estos días. Sin embargo, todo este asunto se discute en una sola página en un 1895 libro de aritmética. El método para hacer esto podría ser descrito como la factura de la aritmética', aplicado dos veces. Así, primero se encuentra el área de 1 furlong por $x$, y luego encuentra que $x$ $y$, por ejemplo. Aquí no hay conversión de unidades.

   Multiply  5 furlongs 22 perches by 8 furlongs 16 perches.
                                                       4,40

        1 furlong   'costs'   10.0.00     5   costs 50.0.00
       10 chains    'costs'    2.2.00     2   costs  5.0.00   (4
        1 chain     'costs'      1.00     2   costs  0.2.00  (10
                        total                 -------------
                                                    55.2.00

        1 furlong  'costs'    55.2.00     8   costs  444.0.00   
       10 chains   'costs'    13.3.20     1   costs   13.3.20  (4
        1 chain    'costs'     1.1.22     6   costs    8.1.12 (10
                                              ===============
                                              total  466.0.12
           466 acres, 12 perches.

Este es el método normal con el trato con el agregado de fracciones, sin medios de conversiones. La multiplicación por partes es generalmente considerada como una especie de "peasent multiplicación', pero veo que a partir de este ejemplo, es perfectamente claro lo que está pasando, y más rápido que la mayoría de los medios de convertir de nuevo y cuarto.

Uno ve a menudo en esta lista, 'fracciones continuas", a menudo escrito en el bastante feo largo vincula. Hay muy pocos comentarios (en todo caso), en 'añade fracciones' o 'continuó numeradores', que proporciona una manera directa de tratar con bastante grandes fracciones, sin conversiones. Yo regularmente convertir las cosas como sixtyfourths en ochos y agregó ochos (por ejemplo, $\frac {35}{64} = \frac 48 \frac 38 = \frac {4 \frac 38}8$).

Los decimales se añaden simplemente fracciones, en lugar de cada vez más grandes exponentes. Es decir, cuando la actualización $1.61$ $1.618$, estamos agregando $\frac 8{10}$ al final de dicha fracción. Uno ve, especialmente en el dinero, en cantidades como $£ 5.15\frac 12$, exactamente con este significado: la fracción es en contra de la unidad del último lugar.

Se habla de los sumerios números, pero ignora totalmente el hecho de que, bien entrado el siglo xiv, que el inglés se utiliza un centenar de seis puntuaciones, y que la gran multitud de los pesos y medidas usados en pares o tripples, es como mucho para evitar el uso de cientos de números (por ejemplo, un peso de diecisiete dos = 17-2 = 17 de piedra de 2 lb = 240 lb, evita los cien libras problema).

Incluso la idea de la 'número inglés' como absurdo. Es decir, para escribir, por ejemplo $720$ como vi C (es decir, seis C, donde el cien es de seis puntuación), en lugar de 'DC', es tomado como algo completamente extraño. Sin embargo, hay un montón de ejemplos de este tipo de escritura en Zupko del "Diccionario de inglés de Pesos y Medidas".

El sumerio sistema no es un 'regular' tal y como la conocemos, sino una división de la base". El dígito más significativo es el de las unidades, y la posterior lugares son divisiones o agregado fracciones de sixtieths. La división de las bases de liderar siginficant ceros, por lo que 00.01 significa 1/60, y 00,00.01 significa 1/3600. Sin embargo, es frecuente ver personas que traducir $44.26.40$ $160,000$, en lugar de su valor correcto de $44 \frac 49$.

Uno, por supuesto, en serio objetos a este absurdo de la introducción de radianes en cada discusión de ángulo. No sólo es posible hacer los cálculos de ángulos sin absurdos unidades, pero la geometría había recorrido un largo camino antes de que alguien decidió inventar.

Uno puede hacer más compleja la geometría no euclidiana (incluyendo la geometría hiperbólica) sin recurrir a cosas como $\tanh$ etc o radianes. La coherente en el ángulo superior de la geometría es la fracción de todo el espacio, algo que suele escribir en fracciones contra la base de 120, para simplificar los cálculos. En este tipo de unidades, me encontré con el sólido ángulos ocupado por los vértices de todas las cuatro dimensiones regulares polytopes (polychora), antes del cúbicos radian era conocido.

En la práctica, el uso de radianes y radios simplemente obstaculizar el proceso: casi todo el mundo en el mundo real medida círculos por su diámetro. Vaya un comprar tornillos o placas o tubos, o de lo que sea, y que es el diámetro que se cita. La unidad de circular pulgadas es el área de una pulgada de la unidad de diámetro. Es interesante que los Sumerios, según Sir Thomas Heath, calificó a la circunferencia de 'real' círculos (es decir, que se puede llegar a pie o mantenga pulsada), como si su diámetro fueron de 60 y $\pi=3$, es decir, 180 ells, dividido en 24 dígitos. Es sólo en círculos que usted está parado en el medio de (como el cielo), que ha $360$ grados = $2(\pi=3) de$ 60. Sin embargo, he sido atrapado aquí, incluso, lo que sugiere que las fórmulas para los volúmenes por dimaeter ser discutido.

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