30 votos

Es posible representar cada número irracional como un (límite de una suma infinita de los números racionales?

Por ejemplo, podemos representar π en esto de la moda.

$$ \frac{\pi}{4} \;=\; \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} .\! $$

$\ln(2)$ es también irracional. E incluso que puede ser representado como una infinita suma de una secuencia de números racionales:

$$ \ln (1+x) \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n. $$ con $x=1$.

Y también, $\sqrt2$:

$$ \sqrt2 \;=\; \sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{4^kk!}\la etiqueta{2} $$

Tengo curiosidad por ver si esto se aplica a todos los números irracionales? Es así que, ¿cómo ir sobre la prueba?

89voto

Anthony Shaw Puntos858

Desde que la serie $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} $$ converge condicionalmente, la de Riemann Reordenamiento del Teorema dice que podemos conseguir a cada número real, racional o irracional, reordenando los términos de la serie

Así que, sí, cada número irracional puede ser escrito como el límite de la suma de los números racionales.

59voto

Brevan Ellefsen Puntos3175

Sí, una forma sencilla de ver esto es buscar en decimal expansiones, ya que en realidad el uso de este hecho a diario cuando decimos que un número es igual a su expansión. Por ejemplo, $$\pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+0.00009+0.000002+\cdots$$ $$e = 2 + 0.7 + 0.01 + 0.008 + 0.0002 +0.00008 +0.000001 +0.0000008+\cdots$$ Cada suma parcial es un número racional, y puede romper cualquier otro número irracional de la misma manera.

21voto

Peter Woolfitt Puntos16561

Cada número real se puede representar como una infinita suma de racionales.

Prueba: Deja que $a\in\mathbb{R}$ y $a_1,a_2,\dots$ ser una secuencia de racionales convergencia de $a$.

Entonces

$$a=a_1+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_{n+1}-a_n)$$

11voto

Derick Bailey Puntos37859

Si lo entiendo correctamente, entonces la respuesta es no. Observe que todas las secuencias en cuestión han términos generales, de una forma "regular". Sin embargo, dado que el número de "regular" las expresiones contables, mientras que el número de irrationals es no, la conclusión lógica sería que esto es simplemente imposible. Rob Juan mencionada reorganización de la "regular" los términos de un condicionalmente convergente expresión para obtener cada número real que se pueda imaginar. Cierto, pero en este caso el reordenamiento sí sería "irregular", por lo tanto la interrupción de la "regularidad" de las expresiones que dio como ejemplos.

10voto

fleablood Puntos5913

====nueva edición====

Se trata de mi atención a través de Lucien la respuesta de que "representada como una infinita suma de una secuencia de números racionales" puede ser interpretado de dos maneras. Puede ser simplemente $x = \sum q_n $ donde cada $q_n$ es un número racional. Esta es la manera que he interpretado, y esta es la interpretación que el resto de esta respuesta está basada en.

O podría ser interpretado como $x = \sum $(algunas buenas regla que le da un número racional basado en n). Los ejemplos de la OP son de este tipo y tener una predicción de la calidad. Se puede utilizar para calcular el valor del número real. Mi interpretación no tiene predictivo de calidad en cuanto a lo de los $q_n$ términos; sólo que hay son una serie de términos racionales que converge a la real irracional x.

Por mi interpretación, todos los irrationals puede ser, por lo representado (respuesta). Por Lucien de la interpretación, que no pueden. Su razón es no sólo countably muchas reglas. No estoy seguro de eso, pero creo que irrationals siendo innumerables los hacen "arbitraria" e impredecibles. Pero me gustaría tener un momento muy difícil de formalizar.

========== final de la nueva edición ===========

Respuesta corta: Esa es la definición de un número real.

Respuesta larga:

La fundamental thereom de análisis es que hay un orden de campo que se extiende a los racionales tales que el campo tiene al menos límite inferior de la propiedad. Podemos definir los números reales a ese campo.

Esto significa, por definición, cada número real es el límite de una secuencia convergente de racionales. Por definición.

Infinitas sumas son el límite finito de sumas. Por lo tanto cada real puede ser escrito como una infinita suma de racionales. Este equivalente a la definición de número real.

La prueba de la fundamental thereom es tedioso y largo. No es difícil, pero el punto es que hacer la prueba antes de los reales están definidas y la definición viene durante la prueba.

Respuesta larga:

Esquema de Fondo Teorema:

Paso 1: Definir un "corte" a ser un conjunto de los racionales con las propiedades:

i) un corte no está vacío. ii) si p es un corte, a continuación, cada número racional menor que p está en el corte iii) para cualquier p en la corte usted puede encontrar una más racional que está en el corte

Así que un corte podría ser la de todos los racionales menos, pero no es igual a 3. O todos los números racionales cuyos cuadrados son de menos de 2. (El primero va a ser finalmente lo que equivale a 3, y el segundo va a ser finalmente el equivalente a $\sqrt 2$

Paso 2: Definir un < b significa que la corte a es un subconjunto de la corte.b.

Paso 3: Mostrar que el conjunto de todos los recortes, vamos a llamar a R~ tiene la menor cota superior de la propiedad.

Sheesh. Aquí es donde se pone abstracto. La menor cota superior de la propiedad significa que cada conjunto acotado en un Conjunto Universal (como lo es el Dólar será una vez que los definen) posee un claro límite en el conjunto universal. Ejemplo: ¿ no tiene la menor cota superior de la propiedad.

De modo que podemos tener un conjunto de recortes de llamada A. puede estar delimitado por encima de significado de la corte, b, tal que todos los cortes en Un son subconjuntos de b. (Recuerde "menor" significa "es un subconjunto de"). La unión de todos los cortes en a es mayor o igual que todos los cortes en A. de la unión es un corte en sí. La unión es el más pequeño corte que es más grande que todos los recortes en A. por Lo que la unión es un mínimo de límite superior y R~ tiene la menor cota superior de la propiedad.

Paso 4: Definir cortar un "+" corte b a la corte que contiene las sumas de los elementos de un plus de elementos de b. Definir 0~ a la corte que contiene todos los números negativos. Esto satisface la adición de las propiedades.

Paso 5: Más sobre el campo y el aditivo y el fin de las propiedades que quisieras pensar.

Paso 6 a 8: Mostrar que R~ un campo.

Paso 9: Mostrar la P~ = todos los recortes que se definen todos los puntos menos que un número racional es equivalente a P. entonces P tiene una extensión que es equivalente a R~. Llamamos a la R, los números reales.

Así..... Para cada número real es simplemente el límite de todos los números racionales en algunos corte. El corte proporciona secuencias de números racionales que converge a un número real.

Así que a cada número real es el límite de una secuencia convergente de números racionales.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: