Entonces... ¿qué es la transformada de Fourier? ¿Para qué sirve? ¿Por qué es útil (tanto en matemáticas como en ingeniería, física, etc.)?
(Las respuestas de cualquier nivel de sofisticación son bienvenidas).
Entonces... ¿qué es la transformada de Fourier? ¿Para qué sirve? ¿Por qué es útil (tanto en matemáticas como en ingeniería, física, etc.)?
(Las respuestas de cualquier nivel de sofisticación son bienvenidas).
Uno de los principales usos de las transformadas de Fourier es la diagonalización de las convoluciones. De hecho, muchas de las propiedades más útiles de la transformada de Fourier pueden resumirse en la frase " la transformada de Fourier es un cambio de base unitario para funciones (o distribuciones) que diagonaliza todos los operadores de convolución. " He sido ambiguo sobre el dominio de las funciones y el producto interior. El dominio es un grupo abeliano, y el producto interior es el L 2 producto interno con respecto a la medida de Haar. (Hay definiciones más generales de la transformada de Fourier, pero no intentaré tratarlas).
Creo que una buena manera de motivar la definición de la convolución (y por lo tanto, eventualmente, de la transformada de Fourier) comienza con la teoría de la probabilidad. Digamos que tenemos un grupo abeliano (G, +, -, 0) y dos variables aleatorias independientes X e Y que toman valores en G, y estamos interesados en el valor de X + Y. Para simplificar, supongamos que G = {x 1 , ..., x n } es finito. Por ejemplo, X e Y podrían ser dados (posiblemente sesgados) de seis caras, que podemos lanzar para obtener dos elementos independientes de Z/6Z . La suma de las tiradas mod 6 da otro elemento del grupo.
Para x ∈ G, sea f(x) la probabilidad P(X = x), y sea g(x) = P(Y = x). Lo que nos interesa es h(x) := P(X + Y = x). Podemos calcularla como una suma de probabilidades conjuntas:
h(x) = P(X + Y = x) = Σ y+z=x P(X = y & Y = z)
Sin embargo, como X e Y son independientes, P(X = y & Y = z) = P(X = y)P(Y = z) = f(y)g(z), por lo que la suma es en realidad
h(x) = Σ y+z=x f(y)g(z) = Σ y∈G f(y)g(x-y).
Esto se denomina convolución de f y g y se denota por f*g. En palabras, la convolución de dos distribuciones de probabilidad es la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes que tienen esas distribuciones respectivas. De ahí se puede deducir fácilmente que la convolución satisface buenas propiedades: conmutatividad, asociatividad y existencia de una identidad. Además, la convolución tiene la misma relación con la suma y la multiplicación escalar que la multiplicación puntual (es decir, la bilinealidad). En el entorno finito, también hay una obvia L 2 producto interno sobre las distribuciones, con respecto a las cuales, para cada f, la transformación g -> f * g es normal. Como tales transformaciones también conmutan, recordando un gran teorema del álgebra lineal de dimensión finita, sabemos que hay una base ortonormal respecto a la cual todas ellas son diagonales. No es difícil deducir entonces que en dicha base, la convolución debe representarse por multiplicación por coordenadas. Esa base es la base de Fourier, y el proceso de obtener las coordenadas en la base de Fourier a partir de las coordenadas en la base normal (los valores f(x) para x ∈ G) es la transformada de Fourier. Como ambas bases son ortonormales, esa transformación es unitaria.
Si G es infinito, gran parte de lo anterior tiene que modificarse, pero gran parte sigue funcionando. (Lo más importante, por ahora, es que la intuición funciona.) Por ejemplo, si G = R n entonces la suma Σ y∈G f(y)g(x-y) debe sustituirse por la integral ∫ y∈G f(y)g(x-y)dy para definir la convolución, o incluso más generalmente, mediante la integración de Haar sobre G. La "base" de Fourier sigue teniendo la importante propiedad de representar la convolución mediante la multiplicación "por coordenadas" (o por puntos) y, por tanto, de diagonalizar todos los operadores de convolución.
El hecho de que la transformada de Fourier diagonalice las convoluciones tiene más implicaciones de las que pueden parecer a primera vista. A veces, como en el caso anterior, la operación de convolución es en sí misma de interés, pero a veces uno de los argumentos (digamos f) es fijo, y queremos estudiar la transformación T(g) := f*g como una transformación lineal de g. Muchos operadores comunes entran en esta categoría. Por ejemplo:
En la base de Fourier, todo de los mismos se representan, por tanto, mediante la multiplicación puntual por una función adecuada (a saber, la transformada de Fourier del núcleo de convolución respectivo). Esto hace que el análisis de Fourier sea muy útil, por ejemplo, para estudiar los operadores diferenciales.
Estoy básicamente de acuerdo con las otras respuestas hasta el momento, pero aquí está la respuesta en pocas palabras: el Fourier transforman (como serie de Fourier) escribe una función como una superposición de funciones de la forma exp(iax). Estas funciones exponenciales son vectores propios tanto para los operadores de la traducción y la diferenciación. Es porque estos operadores son tan naturales y omnipresente que a menudo uno quiere trabajar en una "base" adaptado a ellos.
Artículo de la Wikipedia - es muy largo, se ha explícita fórmulas, gráficos, aplicaciones, etc.
Una transformada de Fourier es un mapa de un espacio de funciones de un (a nivel local topológicos compactos) grupo abelian a las funciones en el Pontryagin dual grupo A' = Hom(a, U(1)), también localmente topológicos compactos abelian grupo. Si el espacio de funciones es buena, como L^2 o suave, con un deterioro rápido, a continuación, el mapa es un isomorfismo. Es definida por la integración en contra de una canónica exponencial del núcleo. Cuando a = R, por lo que es Una', y la función f(t) es llevado a una función F(s), definida como la integral de f(t)e^(-2i pi st) dt.
Aquí es una aplicación de procesamiento de la señal: Digamos que usted tiene una cantidad que varía en el tiempo, como el ambiente de la presión de aire en algún lugar (que describe una onda de sonido). Esto se expresa como una función f(t), y tomando la transformada de Fourier (A = tiempo, Una' = frecuencia), F(s) describe la descomposición en componentes de frecuencia. Si f(t) = sin(2 pi t), entonces es una combinación de puro exponenciales con frecuencias -1 y +1, y la transformada de Fourier es una suma de funciones delta apoyado en -1 y 1. F no es suave, porque f no tiene deterioro rápido en el infinito, así que estoy implícitamente el uso de una extensión de la transformación de un espacio más grande, como el templado de las distribuciones. Alternativamente, si sólo trabajas con una aportación periódica, puede cociente el tiempo el dominio a Un círculo de R/Z, y el dominio de la frecuencia' se convierte en una copia de los números enteros. En este caso, la transformada de Fourier de pecado(2 pi t) es una función de apoyo en -1 y 1 con valores de e/2 y -i/2, respectivamente.
Cuando a es finito, se obtiene una discreta de Fourier, el cual es susceptible a la computación debido a la existencia de rápido algoritmos (fft). Un ejemplo de su uso es en JPEG de compresión de imagen, la descomposición de los datos de la imagen en una suma de ondas (que en realidad utiliza los cosenos en lugar de exponenciales). Usted puede también multiplicar enteros grandes rápidamente haciéndose pasar por la secuencia de dígitos que es una señal. La multiplicación es el mismo que convolving las señales, y que asciende a pointwise la multiplicación de las transformadas de Fourier.
Realmente no estoy preparado para hablar de la matemática utiliza - es grande en el análisis armónico, pero yo realmente sólo vemos la parte que toca a la teoría de números, como en la Tate tesis y automorphic de las formas en general.
Una representación de un arbitrario gavilla de derivados de la categoría de poleas en una pila G/G
(acción por conjugacy) en términos de la "doble". Abelian caso — transformadas de Fourier-Mukai transformación para abelian variedades que se refiere a las poleas en Un con poleas env utilizando la correspondencia A\times A
v.
(hay algunos de los más importantes de la propiedad de la transformada de Fourier falta sobre — voy a volver a esta mañana). Es algo acerca de la relación entre G/G
y G^\wedge/G^\wedge
.
Después de pasar a las funciones, usted puede pensar acerca de la resultante de la versión como la reescritura de un arbitrario conjugado-invariante de la función como una suma por parte de los personajes. Que se especializa para abelian caso — donde todas las funciones son conjugado-invariante.
Como un ejemplo, para la línea real usted tiene que presentar f(x)
como una parte integral de la e^{2\lambda ix}
(bueno, L^2, i
y la apariencia de la integral son algunos de los detalles técnicos importantes, porque de no compacidad). La correspondencia después de todo se convierte en integración con el kernel K(x, \lambda) = e^{2\lambda ix}
.
Cuando se dice "para dummies", ésta es una explicación muy intuitiva y paso a paso: http://techhouse.brown.edu/~dmorris/projects/tutorials/fourier_tutorial.pdf
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