10 votos

¿Cuál es el resultado de $\lim\limits_{x \to 0}(1/x - 1/\sin x)$?

Encontrar el límite de:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac1x - \frac1{\sin x}\right)$$

Yo no soy capaz de encontrarlo, porque no sé cómo probar o refutar $0$ es la respuesta.

12voto

clintp Puntos 5127

Sugerencia: Trate de usar $$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac1x - \frac1{\sin x}\right)= \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x - x}{x\sin x}\right)$$ y aplicar la regla de L'Hospital.

10voto

P. Sohm Puntos 143

Simplificar tener $$\frac{\sin x-x }{x\sin x}$$ and consider Maclaurin's series for $$\sin x=x-\frac {x^3}{3!}+\frac {x^5}{5!}-...$$

Así que usted ha $$\frac{(x-\frac {x^3}{3!}+\frac {x^5}{5!}-...)-x}{x(x-\frac {x^3}{3!}+\frac {x^5}{5!}+...)}=\frac{(-\frac {x}{3!}+\frac {x^3}{5!}-...)}{(1-\frac {x^2}{3!}+\frac {x^4}{5!}-...)}.$$

Encontrar el límite de $x\rightarrow 0$, tenemos;

$$\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(-\frac {x}{3!}+\frac {x^3}{5!}-...)}{\lim_{x\rightarrow 0}(1-\frac {x^2}{3!}+\frac {x^4}{5!}-...)}=\frac{0}{1}=0.$$

cual es la respuesta.

5voto

Hurkyl Puntos 57397

Ya que todo el mundo era "inteligente", pensé que me gustaría añadir un método que realmente no requieren de mucho pensar si estás acostumbrado a asymptotics.

El poder de la serie para $\sin x$

$$\sin x = x + O(x^3)$$

Podemos calcular la inversa de este poder de la serie sin problemas. En el gran detalle:

$$\begin{align}\frac{1}{\sin x} &= \frac{1}{x + O(x^3)} \\ &= \frac{1}{x} \left( \frac{1}{1 - O(x^2))} \right) \\ &= \frac{1}{x} \left(1 + O(x^2) \right) \\ &= \frac{1}{x} + O(x) \end{align}$$

que va desde la segunda línea de la tercera línea es sólo la serie geométrica de la fórmula. De todos modos, ahora podemos terminar:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = O(x)$$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = 0$$

Si quisiéramos, podríamos conseguir más precisión: no es difícil de utilizar el mismo método para mostrar

$$ \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + O(x^3) $$

4voto

tooshel Puntos 475

Si usted cree (o no saben cómo demostrar) que la función $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{\sin(x)}}$, $x\neq 0$, $f(0)=1$ es diferenciable en a $0$, debido a $f$ es incluso, se deduce que el $f'(0)=0$. Tenga en cuenta que $\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}=-\frac{f(x)-f(0)}{x}$, por lo que el límite en cuestión es $-f'(0)=0$.

3voto

Oli Puntos 89

Por diversión, y porque de la pre-cálculo de la etiqueta, se dará una prueba sin cálculo. Resulta que hay un argumento geométrico que $|x-\sin x|$ es menor que un número constante de veces $|x^3|$ $x$ cerca de $0$.

Voy a necesitar un poco de ayuda de usted, para dibujar la falta de la imagen. Tenemos $$\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}.$$ Vamos
$$f(x)=\frac{x-\sin x}{x\sin x}$$ (el cambio de signo es por conveniencia). Vamos a mostrar que el $\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=0.$

Estamos interesados en el comportamiento de $f(x)$ al $x$ está cerca (pero no igual) a $0$. Tenga en cuenta que $f(-x)=-f(x)$. Así que vamos a estar terminado si podemos demostrar que $f(x)$ enfoques $0$ $x$ enfoques $0$ a través de valores positivos.

Deje $x$ ser positivo pequeño. Dibujar $\triangle OPQ$ como sigue. La base del triángulo es $OP$, y tiene una longitud de $1$. El triángulo de ángulo recto en $P$. Finalmente, $Q$ es tal que $\angle QOP =x$.

Dibujar el sector circular con centro de $O$, radio $1$, e ir de $P$ a un punto en $OQ$. Por lo que el sector ha ángulo de $x$.

Tenga en cuenta que el sector circular es la contenida en $\triangle OPQ$. El sector circular tiene área de $(1/2)x$, e $\triangle OPQ$ área $(1/2)\tan x$. Por lo tanto la geometría nos da la desigualdad $$\frac{x}{2}<\frac{\tan x}{2}.$$ Desde $x>\sin x$, obtenemos las estimaciones $$0<x-\sin x< \tan x-\sin x.$$ El lado derecho sólo implica las funciones trigonométricas, así que es más fácil de tratar que $x-\sin x$: $$\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)=\sin x\left(\frac{1-\cos^2 x}{\cos x(1+\cos x)}\right)=\frac{\sin^3 x}{\cos x(1+\cos x)}.$$ Llegamos a la conclusión de que $$0 <\frac{x-\sin x}{x\sin x}<\frac{\sin^2 x}{x\cos x(1+\cos x)}.$$ Desde $\sin x<x$, nos encontramos con que $$0 <\frac{x-\sin x}{x\sin x}<\frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)},$$ y está claro que $\dfrac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)}$ enfoques $0$ $x$ enfoques $0$ a través de valores positivos.

Comentario: En este problema, no hay virtud en evitar el cálculo. La expansión de Taylor es el enfoque natural.

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