32 votos

Truco con números de 3 dígitos, siempre obtiene 1089

Cuando estaba en la escuela primaria, un profesor nos enseñó el siguiente ejercicio de aritmética.

Tome cualquier número de 3 dígitos entre 201 y 998 siempre que el cientos es mayor que el unos dígito y hacer lo siguiente:

  1. Escriba el número $\hspace{2.2cm} 523$

  2. intercambiar el primer y el último dígito $\hspace{1.5cm} 325$

  3. Ahora resta los dos números $\quad\,= 198$

  4. Ahora intercambia la primera y la última cifra del nuevo número y súmalas $198+891=1089$ siempre

Hoy se lo he enseñado a mi sobrina de 5º curso, que se ha quedado bastante sorprendida, pero luego me ha hecho una pregunta para la que no estaba preparada:

¿Por qué siempre funciona?

0 votos

Tu tercer paso al principio parecía como si dijeras que debíamos restar el número $2$ de algo. Tal vez quieras reformularlo un poco.

1 votos

Me he dado cuenta de que $1089=33^2$ . ${}\qquad{}$

54voto

mathlove Puntos 57124

Configuración $100A+10B+C$ tenemos $$(100A+10B+C)-(100C+10B+A)=100(A-C)+C-A$$$$ =100(A-C-1)+9\cdot 10+(10+C-A). $$ So, we have $$ \left(100(A-C-1)+90+(10+C-A)\right)+\left(100(10+C-A)+90+(A-C-1)\right) $$$$=9\cdot 100+90\cdot 2+9=1089.$$

3 votos

No estoy seguro de que un niño de quinto grado pueda entender eso... Pero, de todas formas, ¡buena respuesta!

1 votos

¿Por qué falla esto para el 645? (o cualquier A,B,C en general?)

3 votos

@DennisJaheruddin: Para $645$ , obtendrá $645-546=99$ . Si crees que $99$ como $099$ funciona porque $099+990=1089$ . Así que, en general, si crees que $A-C-1=0$ está bien, entonces funciona. Si crees que $100(A-C-1)+9\cdot 10+(10-A-C)$ debe ser un número de tres dígitos, entonces necesitamos otra condición $A-C-1\ge 1$ .

11voto

Ned Puntos 1104

Una explicación menos rigurosa, pero más sencilla, para los principiantes es observar que (1) los dígitos $xyz$ de la primera resta debe satisfacer $x+z = 9$ y $y = 9$ y entonces es fácil ver que (2) la suma que sigue es $1089$ . Esto sólo requiere entender (1) la resta y el préstamo, seguido de (2) la suma y el acarreo, en lugar de las potencias completas de $10$ prueba algebraica.

7voto

Nilan Puntos 5798

¡¡¡Aquí he encontrado la bonita generalización de esto!!!

Considere el número de cuatro dígitos $ABCD$ con $A>D+1$ entonces,

  1. Escriba el número $\hspace{2.2cm} ABCD$

  2. intercambiar el primer y el último dígito $\hspace{1.5cm} DBCA$

  3. Ahora resta los dos números $\quad\,$

  4. Ahora intercambia el primer y el último dígito del nuevo número y añádelo al número inicial, entonces obtienes $10989$ siempre

PARA:
Considere el número de cuatro dígitos $1000A+100B+10C+D$ con $A>D+1$ entonces, $$(1000A+100B+10C+D)-(1000D+100B+10C+A)=1000(A-D)+(-A+D)=1000(A-D-1)+900+90+(10-A+D)$$ Sumando los números..., obtenemos

$\{1000(A-D-1)+900+90+(10-A+D)\}+\{1000(10-A+D)+900+90+(A-D-1)\}$ $$=1000\times9+1800+180+9\\=10989$$

Los números de los dígitos y las sumas invariables pueden darse como $$2\to 99$$ $$3\to 1089$$ $$4\to 10989$$ $$5\to 109989$$ y así sucesivamente (espero :)).

2voto

afeldspar Puntos 133

Llamemos a los dígitos del número original h , t y o , para centenas, decenas y unidades. El efecto de restar o de hto es lo mismo que hacer las tres ecuaciones siguientes y sumar los resultados:

(100 * h) - (      h) =  99 * h
( 10 * t) - ( 10 * t) =   0
(      o) - (100 * o) = -99 * o

Esto se simplifica fácilmente, primero a (99 * h) - (99 * o), y luego a (h - o) * 99. Porque h y o son de un solo dígito, y además sabemos que h > o (según el problema original, que decía que la cifra de las centenas debe ser mayor que la de las unidades), sabemos que h - o no puede ser menor que 1, ni mayor que 8.

Esto significa que en realidad sólo hay ocho valores posibles para el número de tres dígitos que tenemos después del primer paso, y se encuentran en la siguiente tabla de los múltiplos de tres dígitos de 99 (falseando un poco la primera entrada):

 1 * 99  =  099
 2 * 99  =  198
 3 * 99  =  297
 4 * 99  =  396
 5 * 99  =  495
 6 * 99  =  594
 7 * 99  =  693
 8 * 99  =  792
 9 * 99  =  891
10 * 99  =  990

Cada vez que añadimos 99, se produce el efecto de restar 1 al lugar de las unidades y añadir 1 al lugar de las centenas (la otra cara de la moneda de cuando cambiábamos los dígitos entre los lugares de las unidades y las centenas, y el efecto era el mismo que el de sumar/restar múltiplos de 99). Por eso el dígito de las centenas sube y el de las unidades baja exactamente al mismo ritmo, y por eso el reverso de cada número de la tabla es también un número en la tabla. (Por muchos pasos que se den para subir de a a b se necesita exactamente la misma cantidad para bajar de b a a .)

Para cualquier número de la tabla, si es la nª entrada de la tabla leyendo hacia abajo, su contrapartida invertida es la nª entrada de la tabla leyendo arriba . Cuando se seleccionan pares bajo esa restricción, de una tabla donde cada entrada consecutiva es exactamente c mayor que el último por alguna constante, la suma de cada par será siempre la misma que la suma del primero y el último (pruébalo con una tabla en la que las entradas estén separadas por sólo 1, y verás por qué.) Así que, no importa qué múltiplo de 99 nos dé nuestra resta inicial, la adición de su contraparte invertida siempre nos dará una suma igual a (1 + 10) * 99 - es decir, 1089.

1voto

Jeff Puntos 443

Sugiero algo como lo siguiente.

¿Cómo funciona?

Veamos el número 432, ¿qué significa?

4 Centenas + 3 decenas + 2 unidades

Si invertimos los dígitos (234) ¿Qué significa eso?

2 Centenas + 3 decenas + 4 unidades

Si restamos la 2ª de la 1ª, ¿no queda así?

4 Centenas + 3 decenas + 2 unidades - 2 Centenas - 3 decenas - 4 unidades

2 centenas + 0 dieces + 2 unos - 4 unos

2 Centenas + 0 decenas - 2 unidades

1 Centena + 1 Centena + 0 decenas - 2 unidades

1 Centena + 10 decenas + 0 decenas - 2 unidades

1 centena + 10 dieces - 2 unidades

1 centena + 9 dieces + 1 decena - 2 unidades

1 Centena + 9 decenas + 10 unidades - 2 unidades

1 Centena + 9 decenas + 8 unidades

198

Invierte y añade. 198+918=1089

Ahora lo intentas con un número de 3 dígitos diferente (entonces quizás con 'htu')

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X