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Los subgrupos finitos de SL(2,C)

Libros puede ser escrito acerca de los subgrupos finitos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ (y sus familiares inmediatos, como la poliédrica, grupos...) estoy a punto de empezar a escribir notas para un curso corto sobre ellos y me gustaría incluir referencias a la mayor cantidad de información útil e interesante sobre ellos como sea posible. Desde que se muestran en ambientes muy diferentes, y puede ser visto desde muchos puntos de vista diferentes, estoy seguro que la muy variada MO audiencia sabe un montón de cosas acerca de ellos, yo no.

Así que, a pesar de ser más o menos canónicamente demasiado amplio/vaga una pregunta para el MO según el FAQ:

Me puedes decir (o al menos a mí) todo acerca de los subgrupos finitos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$?

Más TARDE: Gracias a todos los que respondieron. Hasta ahora, la información es esencialmente de algebraicas y geométricas de la naturaleza. Ahora me pregunto acerca de la combinatoria y tales bestias.

Por ejemplo, es un teorema de Whitney (o tal vez es sólo sigue fácilmente de un teorema de Whitney) que un 3-conectado simple plano gráfico con $e$ bordes tiene un automorphism grupo de pedido en más de $4e$, y que el orden es de $4e$ precisamente cuando el gráfico viene de un poliedro, por lo que el grupo es un poliédrica grupo.

¿Sabe usted de resultados similares?

45voto

ChrisThomas123 Puntos 966

Esta pregunta está muy relacionada con una de mis favoritas de las relaciones entre la geometría y la teoría de la representación. Considerar la simple Mentira álgebras de los siguientes tipos:

  • $A_n$
  • $D_n$
  • $E_6$
  • $E_7$
  • $E_8$

A continuación, estos diagramas de Dynkin corresponden a todos los posibles subgrupos finitos de $SL_2.$ La relación está dada por las clases especiales de aislado de la superficie de las singularidades conocido como Kleiniano o Du Val singularidades. Estos surgen de la siguiente manera. Dado un determinado subgrupo de $G \subconjunto SL_2,$ disponemos de una acción de $G$ en $\mathbb{C}^2$ sin puntos fijos otros de origen. Si luego miramos el geométrica cociente de $\mathbb{C}^2/G$ correspondiente a $G$-invariante polinomios en $\mathbb{C}[x,y],$ que es generado por los tres polinomios homogéneos $f_1, f_2, f_3$ los cuales están relacionados por medio de un promedio ponderado de polinomio homogéneo de $g$ de grado 3 tal que $g(f_1, f_2, f_3) = 0.$ Podemos entonces identificar $\mathbb{C}^2/G$, con la hipersuperficie $\{ g = 0 \} \subconjunto \mathbb{C}^3.$

El resultado hypersurfaces tienen las siguientes ecuaciones (con el correspondiente subgrupo):

  • $A_n: x^{n+1} + y^2 + z^2$ (cíclico)
  • $D_n: x^{n-1} + xy^2 + z^2$ (diedro)
  • $E_6: x^4 + y^3 + z^2$ (tetraédrica)
  • $E_7: x^3 + y^3 + z^2$ (octaédrico)
  • $E_8: x^5 + y^3 + z^2$ (icosaédrica)

El diagrama de Dynkin introducir como sigue. Cada una de estas superficies pueden ser resueltos a través de un número finito de blow-ups, y la excepcional cantidad de fibra en la resolución consistirá en una copia de $\mathbb{P}^1$ por cada uno de los nodos del diagrama de Dynkin, cada una de las cuales está unida a la de otro de $\mathbb{P}^1$ si hay un borde correspondiente en el diagrama de Dynkin conectar los dos nodos (así en el cíclico caso, es sólo una cadena de $\mathbb{P}^1$'s).

Por último, hay una buena conexión entre este y Springer teoría que va como sigue. Deje que $\mathcal{N}$ denotar la nilpotent cono de una Mentira álgebra de uno de los tipos mencionados anteriormente, y deje de $\mathcal{S}$ denotar la subregular órbita. Entonces $\mathcal{S}$ tiene codimension dos en $\mathcal{N}$ y, por tanto, la correspondiente Kostant/Slodowy slice es una superficie en $\mathcal{N}.$ Entonces resulta que esta superficie es una de las superficie de las singularidades de arriba, y que el correspondiente Springer fibra de subregular elemento es isomorfo a la excepcional cantidad de fibra en la resolución de la superficie mencionada. Así que el Springer resolución codifica la información de las sucesivas ampliaciones de estas superficies.

Un par de buenas referencias:

Milnor, Puntos Singulares de Complejo Hypersurfaces

Dimca, Singularidades y la Topología de Hypersurfaces

Slodowy, Simple Singularidades y Algebraicas Simples Grupos de

16voto

JimmyJ Puntos 1443

Dolgachev tiene una Nota en la correspondencia de McKay en dimensión $2$. Tiene un montón de cosas interesantes en subgrupos de $SL (2, \mathbb C) $, sobre todo desde el punto de vista de la geometría algebraica.

16voto

Marcel Lamothe Puntos 133

Parece que sólo QQJ se refirió a esto, pero vale la pena recordar que cualquier finito subgrupo de $G $ de $SL(2,C)$ puede ser hecho para preservar un Hermitian interior del producto en $C^2$ por un promedio de, por lo tanto es también un subgrupo finito de $SU(2)$, que luego se hace doble cubierta de un subgrupo finito de rotaciones de $R^3$ través $SU(2)\a SO(3)$. De este modo se obtiene el "binario" de las versiones de los subgrupos finitos de $SO(3)$, (por ejemplo, el binario icosaédrica grupo, binario tetraédrica grupo, las otras platónico grupos, binario diedro grupos,...) y, desde $SU(2)$ es la 3-esfera de la acción de traducción exhibe estos fundamentales en grupos de 3-variedades, es decir $S^3/G$, universalmente cubiertos por $S^3$. Estos 3 colectores están los enlaces de las singularidades se describe en Mike Skirvin la respuesta, y los correspondientes diagramas de Dynkin dar plomería diagramas=Kirby diagramas para el buen 4-variedades se obtiene mediante la resolución de las singularidades con el límite de las 3-variedades.

11voto

Ian Agol Puntos 33953

Me gusta Thurston del tratamiento en su libro. La idea es que cualquier finito subgrupo de $G< SU(2) \a SO(3)$ da lugar a una orbifold $S^2/G$. En primer lugar, uno clasifica los posibles cociente orbifolds, entonces uno se da cuenta de la posible preimagen subgrupos en $SU(2)$. Ejercicio 4.4.6 da una argumentación directa (al menos para $SO(3)$). El más largo, pero más conceptual argumento utilizando orbifolds no aparece en el libro publicado, pero es en la sección 5.5 de un anteproyecto (es de suponer que esto sería parte de los materiales que aparecen en el volumen 2), y también aparece en el Teorema de 13.3.6 de Thurston notas. Clasificación de los esférica y euclidiana 2-dimensional orbifolds es una satisfacción ejercicio, que puede ser llevada a cabo por estudiantes de licenciatura con muy poca formación matemática: ver las notas del curso "la Geometría y la Imaginación".

7voto

mrdenny Puntos 171

La McKay correspondencia mencionada en Hailong y Mike respuestas se extiende al máximo de Cohen-Macaulay los módulos a través de los invariantes de los anillos de $R=k[x,y]^G$, donde $G$ es un subgrupo finito de $GL(2,k)$ ($|G|$ invertible en $k$). En particular (Herzog) todos subrings tiene sólo un número finito de no isomorfos indecomposable MCM de los módulos, es decir, tienen finito CM tipo. Lo contrario es cierto en característica cero -- que una de dos dimensiones normal completa de dominio de más de $\mathbb{C}$ de finito CM tipo es un anillo de invariantes-por un resultado de Auslander.

El caso $G \subconjunto de SL(2,k)$ corresponde a $R$ ser Gorenstein, y, en particular, una hipersuperficie -- a saber, la ADE hypersurfaces mencionados en la respuesta de Mike. La correspondencia entre las representaciones irreducibles de $G$, y los componentes de la excepcional fibra se extiende para incluir la irreductible MCM de los módulos, y la McKay carcaj (también conocido como diagrama de Dynkin) es la misma que la estable de Auslander-Reiten de la aljaba. Los módulos están conectados directamente a las irreps por Auslander, y directamente conectado a los componentes de la fibra por Gonzales-Sprinberg--Verdier y Artin--Verdier, extendido a los no-Gorenstein caso por Esnault y Wunram.

La mayoría de esto es en el actual proyecto de mis notas con Roger Wiegand en MCM módulos, capítulos 4, 5 y 6. (Ignore la geometría en el Capítulo 5 -- plagado de errores y actualmente estoy reescribiendo. O eres bienvenido a señalar los errores que pudiera no haber notado todavía.) La pregunta de lo que sucede a la de Auslander-Reiten-McKay correspondencia por $G \no\subconjunto de SL(2)$ es abordado en algunos trabajos recientes de Iyama y Wemyss. (Usted consigue solamente algunos de los indecomposable MCMs, el así llamado especial.)

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