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¿Puedo pensar de Algebra como este?

Este año en el Álgebra llegamos por primera vez introdujo el concepto de ecuaciones con variables. Nuestro maestro está haciendo un gran trabajo de enseñarnos a hacer ellos, excepto por una cosa:

No nos está diciendo lo que realmente estamos haciendo a la hora de simplificar/solución de una ecuación.

En lugar de decirnos que están sumando o restando algo de ambos lados, él nos dice que nos estamos moviendo algo sobre el signo de igual.

Tomemos, por ejemplo, esta simple ecuación.

$3x+5=2x+10$

Tenemos que conseguir que todas las "x" los términos de un lado, por lo que originalmente se pensaba que resta 2x de ambos lados, dejando

$x+5=10$

Pero eso no es cómo se lo enseña. Él dice:

Tenemos que conseguir que todas las "x" los términos en uno de los lados, así que nos movemos 2x sobre el signo de igual, y cada vez que nada va a través del signo de igual se convierte en negativo, por lo tanto tenemos:

$-2x+3x+5=10$ y, a continuación, podemos combinar términos semejantes para obtener $x+5=10$

Sí, se están haciendo básicamente lo mismo, pero mis profesores manera más complica un poco las cosas, y mi principal preocupación es que mis compañeros de clase parecen pensar que podemos mover el $2x$ por "arte de magia" y no sabemos que somos restar de ambos lados. Esto al principio me parecía muy malo para mí, pero parece que en todo lo que hemos hecho hasta ahora, usted puede conseguir lejos con no saber realmente lo que están haciendo, mientras que hacerlo. Y, por alguna razón, pensando en hacer el Álgebra de esta manera parece que es más fácil para mí y mis compañeros.

Mi pregunta es: ¿Hay alguna desventajas a pensar sobre el Álgebra como este? ¿Hay algo más tarde, en mi educación matemática que se requiere de mí para saber que estoy restando o sumando 2x deshacerse de él en este lado?

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Daniel R. Collins Puntos 1497

Mi pregunta es: ¿hay alguna desventajas para pensar acerca de Álgebra como este? ¿Hay algo más tarde, en mi educación matemática que se hacerme saber que estoy restando o sumando 2x para deshacerse de él en este lado?

Como un álgebra de colegio instructor, estoy involucrado con los esfuerzos de remediación para cientos de estudiantes cada año que se han graduado de la escuela secundaria, pero no puede empezar con la universidad de matemáticas, principalmente debido al uso de los conceptos recogidos en su escolarización anterior. Así que yo diría que "sí". Hay algunos atajos que los maestros pueden tomar para llegar a los estudiantes a pasar algunas pruebas específicas o programas que están involucrados; pero la incorrecta conceptos que sin duda hará las cosas más difíciles para los estudiantes, a veces de modo abrumador, más adelante. (La mayoría de los estudiantes que la tierra en la universidad de remediación de los programas de nunca obtener los grados de la universidad.)

La primera cosa que me gustaría señalar es que el "aplicar operaciones inversas para ambos lados" la idea es generalizable a cualquier operación matemática; esto le permite cancelar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponentes, radicales... incluso exponenciales, logarítmicas y trigonométricas funciones. (Con multa impresión: no división por cero, las raíces cuadradas de ambos lados crea dos más-o-menos soluciones, trigonométricas inversas, crea cíclico infinito de soluciones, etc.)

En contraste, el "move over y cambiar el signo de" el método no es generalizable, ya que sólo funciona para sumando términos. Esto pone a los estudiantes en un curso que requiere memorizar muchas aparentemente reglas diferentes, uno para cada operación, que es mucho más difícil. A la hora de resolver $2x = 10$, ¿cómo es el multiplicador de 2 cancelado? Debemos recordar a mover y girar en el recíproco de 1/2? Será que los estudiantes erróneamente cambiar el signo y multiplicar por -1/2? O suma o multiplica por -2 (veo mucho de esto)? ¿Cómo podemos eliminar la división en $\frac{x}{2} = 5$ (probablemente algunos otros de la regla)? Cómo vamos a recordar la aparentemente totalmente diferente de la regla para resolver $x^2 = 25$?

A modo de analogía, tengo estudios universitarios de los estudiantes que nunca memorizado las tablas de tiempos; que se las arregló para conseguir a través de la escuela secundaria en varias ocasiones la incorporación de sus dedos, y se puede conseguir a través de, quizás, la primera parte de un curso de álgebra de esa manera. Pero luego de empezar a facturar y la reducción de los radicales: "Lo que los tiempos de lo que da la 54?" Yo podría preguntar; "no tengo idea!" será la respuesta (esto pasó la semana pasada; y he aquí un estudiante que no tiene ninguna oportunidad de pasar el resto del curso).

En resumen: Hay atajos o "trucos" que puede obtener un estudiante a través de un particular examen o prueba, que llegar a ser perjudicial más adelante, como el "truco" falla en un contexto más amplio (como en este caso, con otras operaciones de adición o sustracción). Esto establece un estudiante en una carretera a memorizar cientos de reglas abstractas, en lugar de un par de simples grandes ideas, y en algún momento que la complicada estructura ad-hoc se viene abajo. Ser educado y no pelear con tu profesor para cambiar las cosas; pero asegúrese de recoger una perspectiva más amplia para usted, y compartir con otros estudiantes si ellos están dispuestos, porque la necesitarás más adelante. Aprovechar la oportunidad para pensar sobre cómo podría mejorar en la enseñanza de la material, y, a continuación, usted puede estar en el camino para ser un maestro en maestro de sí mismo algún día, y ayudar a muchas personas que lo necesitan.

32voto

Jukka Dahlbom Puntos 1219

Es importante entender que ambos puntos de vista. En particular, si alguna vez necesita preguntarse a sí mismo ¿por qué está bien para "mover las cosas", siempre se puede pensar y recordar que todo lo que realmente está haciendo es aplicar el mismo cambio a los dos lados de una ecuación.

Lo que tenemos aquí es una ocurrencia común en las matemáticas: dos puntos de vista diferentes de un mismo problema son cada útil por diferentes razones. En el final, es mediante la síntesis de estos puntos de vista que obtenemos una comprensión más profunda del problema en cuestión y crecer como matemáticos.


Como para aquellos que no se dan cuenta de que "realmente" hacer la misma cosa a dos caras diferentes: yo no se preocupe demasiado acerca de él. Con toda probabilidad, va a venir en un problema de matemáticas un día y de repente la luz en su cabeza se enciende y se van a dar cuenta "oh, esas dos cosas que he aprendido son en realidad la misma". Sé que lo mismo me pasa a mí en una base regular.

Y para los que no tienen esa epifanía: bueno, algunas personas insisten en recordar cosas de la manera difícil, y se quejan de que la matemática es un grupo ad hoc y de reglas arbitrarias. Si usted encuentra una manera de cambiar eso, me dejan saber.

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Newb Puntos 10494

Uno de los desafortunados cosas acerca de las matemáticas en la escuela es que los profesores son a menudo con la tarea de llegar a los estudiantes a entender una cosa en particular. Por lo que van a hacer todo lo posible para enseñar que una cosa para que los estudiantes puedan pasar la prueba, incluso si esto significa que los estudiantes pueden no entender realmente el concepto subyacente, lo que es más difícil para ellos aprender temas más avanzados. (En ese momento, se va a mudar a otro profesor...)

En este caso, el profesor tiene la tarea de llegar a comprender la adición y la sustracción en el álgebra. Esto puede ser difícil de entender, por lo que inventa, esta linda historia acerca de las cosas se vuelvan negativos cuando se mueven a través del signo de igual. Ok. Que va a trabajar para resolver cosas como $x+5 = 10$.

Pero, ¿qué acerca de ecuaciones como $6x = 18$? En este punto, usted tiene que multiplicar o dividir, donde la linda historia sobre el movimiento de material a través del signo de igual se cae en su cara y su profesor es una linda historia. Finalmente, todas estas lindas historias se acumulan para crear una profunda confusión, y después de años de estudiar álgebra, los estudiantes todavía no entender los conceptos subyacentes.

Voy a tratar de enderezar el camino. El álgebra es (generalmente) se trata de hacer dos cosas:

  1. El mantenimiento de la igualdad
  2. La solución para que un desconocido

Usted ya sabe acerca de la solución para una parte desconocida -- siempre estás tratando de resolver por $x$. Ese es el objetivo.

La primera parte es un poco complicado de entender. Normalmente tenemos dos o más expresiones (por ejemplo, $x+5$ y 10 $de$) que están conectados por un signo de igual. Esto significa que estas dos expresiones son iguales. Los números que representan la misma. Lo que hacemos entonces es manipular estas expresiones, mientras que el mantenimiento de la igualdad, para lograr nuestro objetivo: la resolución de la incógnita.

Así que cuando tenemos una declaración como $5x = 10+2x$, queremos manipular la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha, y mantener la igualdad en todo momento. Si nuestra manipulación es hábil, entonces tendremos, finalmente, acabar con solo $x$ en uno de los lados, y te han descubierto lo que es igual.

Así que vamos a tomar declaración como $a = b$. Fundamentalmente, el mantenimiento de la igualdad significa que lo que hacemos a $a$, usted debe hacer para $b$. Tiene sentido, ¿verdad? Si $a$ y $b$ son iguales, entonces si que añadir $5$ a $un$ y quiere seguir $a$ igual a $b$, también debe agregar $5$ a $b$. Si se multiplica $a$ por $10$, también debe multiplicar $b$ por $10$. Si usted cuadrado $a$, usted debe cuadrado $b$. De ahí en adelante.

Pero hay advertencias. ¿A qué nos referimos realmente cuando hablamos de igualdad en este contexto? Tome una ecuación $x^2 = 25$. Sea $x=5$ o $x=-5$ será una solución válida: tanto de los valores de $x$ le permitirá a la declaración de $x^2=25$ ser cierto. Así que cuando resolvemos $x^2=25$, no podemos simplemente tomar $\sqrt{25}=5$ y decir que hemos terminado. Podríamos haber hecho lo mismo a ambas expresiones, pero no hemos de mantener la igualdad.

O tomar declaración como $x=1$. Podemos cuadrado ambos lados y conseguir $x^2 = 1^2 = 1$. Ahora, $x^2 = 1$ tiene soluciones de $x=1$ y $x=-1$. De nuevo, hicimos lo mismo a ambos lados, pero no hemos de mantener la igualdad. Entonces, ¿qué significa para mantener la igualdad?

Empezamos con una declaración de que es cierto, como $x^2 = 25$. El desconocido en esa declaración, es de $x$. Hay un conjunto de soluciones (es decir, un montón de números) para $x$ que permitirá a los $x^2=25$ ser cierto. $5$ y $-5$, ambos están en ese conjunto. $6$ no es en ese set por $6^2 = 36$, y $36 \neq 25$.

En el $x=1, x^2=1$ ejemplo, no mantener la igualdad porque hemos cambiado el conjunto solución. Sólo hay un valor de $x$ que $x=1$ true, y eso es $1$. Pero hay dos valores de $x$ que $x^2=1$ true: esos son $1$ y $-1$. Vamos a llamar a aquellos que el potencial de la solución.

Así que tenemos que volver a nuestra ecuación original, la que conocemos para ser verdad, y comprobar los valores que nos dieron en el potencial de la solución. En este ejemplo, la ecuación fue de $x=1$. Así que empezamos el primer número de la potencial solución: $1$. Nos conectarlo para $x$. De 1 $=1$. Gran. Ahora tratamos el otro número: $-1$. Tapón de $x$. $-1 = 1$. Nope.

Entonces, para resumir, podemos mantener la igualdad entre dos expresiones, haciendo dos cosas:

  1. Haciendo las mismas cosas a ambas expresiones.
  2. Mirando hacia fuera para las operaciones que se puede cambiar el conjunto de soluciones de una ecuación (estos son los más comúnmente cuadrado/raíces cuadradas, es decir, exponenciación, o trigonométricas operaciones, como $\sin$, etc.). Cuando se trata de los tipos de operaciones, es una buena idea aprovechar el potencial de las soluciones y enchufe en la ecuación original para ver cuáles funcionan y cuáles no.

Yo le animamos a resolver estos problemas con la mentalidad de mantener la igualdad, en lugar de mediante el uso de las historias que su maestro puede contar. Más allá de lo que he dicho anteriormente, hay dos grandes razones para esto:

  1. Al pensar acerca de la igualdad, que va a pensar más sobre el subyacente de las matemáticas, en lugar de sólo acerca de cómo mover alrededor de los símbolos.
  2. Los problemas que encontrará en el Álgebra (y en la matemática en general) poco a poco será más difícil, por lo que para tener éxito, usted necesita para realmente entender las nociones subyacentes.

De todos modos, vamos a resolver el problema de $3x + 5 = 2x + 10$ con el tipo de mentalidad que he defendido. Para un problema sencillo como esto, puede ser una exageración, pero sin duda va a ser útil para pensar en esos términos cuando estés enfrentando problemas más difíciles. $$3x+5 = 2x+10$$ Estas declaraciones son iguales. Reste $2x$ de cada expresión. $$3x-2x + 5 = 2x - 2x + 10$$ Simplificar. $$x + 5 = 10$$ Reste $5$ de cada expresión. $$x + 5 - 5 = 10 -5$$ Simplificar. $$x = 5$$

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Ennar Puntos 1760

He estado enojado con mis profesores de matemáticas durante años para que no me dice por qué las cosas se comportan de la manera en que lo hacen, pero la enseñanza que me montón de algoritmos lugar. Eso es, hasta que empecé la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria después de terminar pura de las matemáticas.

Usted está entendiendo correctamente lo que realmente está pasando. Esto es fantástico, y me gustaría estar orgullosos de enseñar a alguien como tú. Pero por favor entienda que no son muchos los estudiantes encontrarán que esta de más aclarar que "mover cosas alrededor". Por desgracia, los maestros necesitan comform de la mayoría, la mayoría del tiempo, por lo que a menudo son forzados a tomar el enfoque más simple en comparación con las más rigurosas. Trate de no ser demasiado crítico de su profesor y en lugar de plantear buenas preguntas, como esta, en su clase. Cualquier buen maestro estará encantado de discutir los diferentes puntos de vista y que será beneficioso para toda la clase.

10voto

Yves Daoust Puntos 30126

Su maestro es correcto porque es describir las cosas a un nivel superior.

Es cierto que se pueden agregar términos a ambos lados de una ecuación. Como

$$3x+5=2x+10$$

que puede llegar a ser

$$9x+3x+5=9 x+2x+10$$

o $$12x+5=11x+10.$$

Pero lo que él quiere decir es que él es agregando el término exacto es necesario para permitir que el desconocido desaparecer de un miembro.

$$-2x+3x+5=-2x+2x+10$$

o $$x+5=10.$$

De esta manera, él es, de hecho, "en movimiento" todos a $x$'s desde el lado derecho al lado izquierdo para simplificar la ecuación. De esta manera se expresa el propósito más que el medio.


Hay otras expresiones de la jerga que vienen útil cuando usted explicar un cálculo.

Por ejemplo, "completar el cuadrado".

Para resolver la ecuación

$$x^2+6x+5=0,$$ de agregar $4$ tanto a los miembros a obtener

$$x^2+6x+9=4.$$

Entonces usted tiene un cuadrado perfecto y se puede resolver más fácilmente

$$(x+3)^2=2^2.$$

Una vez más, añadido a ambos lados, pero se puede decir "completar el cuadrado".

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