¿Cuál es el logaritmo de un kilómetro? ¿Es un número adimensional?

Question

En los gráficos logarítmicos, una cantidad se representa en una escala logarítmica. Esto me hizo pensar en qué es realmente el logaritmo de una unidad.

Supongamos que tengo algo con longitud $L = 1 \:\mathrm{km}$ .

$\log L = \log \mathrm{km}$

Parece que la unidad de $\log L$ es $\log \mathrm{km}$ pero también puedo decir $L = 1000 \mathrm{\:m}$ y ahora:

$\log L = 3 + \log \mathrm{m}$

Esto no parece tener ninguna unidad.

Esto sugiere que $\log \mathrm{km}$ y $\log \mathrm{m}$ son en realidad números adimensionales. Pero espera, ¡puedo hacer esto con cualquier unidad! ¿Tiene realmente sentido hablar del logaritmo de una unidad, o de alguna otra función?

Answer 1

Sí, los logaritmos siempre dan números adimensionales, pero no, no es físico tomar el logaritmo de cualquier cosa con unidades.

En cambio, siempre hay alguna unidad estándar. Para tu ejemplo, el estándar es el kilómetro. Entonces 20 km, bajo la transformación logarítmica, se convierte en $\ln(20\;\textrm{km}\;/\;\textrm{km}\;)$ . Del mismo modo, el logaritmo de 10 cm, con esta escala es
$$\ln(10\;\textrm{cm}\;/10\;\textrm{km}\;) = \ln(10\times 10^{-3} / 10^{3}) = \ln(10^{-5})$$

Answer 2

Aquí hay uno "matemático" pero altamente no físico respuesta.

Usando eso $km\cdot km = (km)^2$ etc, podemos definir formalmente la aritmética de los números con unidades sobre un álgebra graduada $A = \oplus_{k\in \mathbb{N}} V_k$ donde $V_k = \otimes^k V$ donde $V$ se trata como un espacio vectorial real unidimensional ( $V_0$ es el escalar $\mathbb{R}$ ). La elección de la unidad es la elección de un vector base en $V$ . $V_0$ son los escalares puros. Así que para cada elección de un vector base $v \in V$ obtenemos el mapeo de la secuencia infinita $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A$ realizar esa secuencia a través de $(r_k) \to [r_k]_v = \sum r_k (\otimes^k v)$ . Definimos la multiplicación $V_k\times V_{k'} \to V_{k+k'}$ como siempre.

(No vamos a definir las unidades de potencia negativas por ahora. Pero probablemente puedan incorporarse de forma análoga).

Entonces, formalmente podemos definir $\exp: A \to A$ por la expansión en serie de la potencia

$$ \exp a = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} a^k $$

donde $a^k$ se define en el sentido del álgebra graduada. Y ahí hemos definido lo que significa para $\exp$ de algo con unidades. Cambio de base de $\exp$ es manejado por $y^a = \exp (\ln(y)\cdot a)$ . Y de forma similar, el cambio de unidades se incorpora de forma natural, utilizando el hecho de que un cambio de base en un espacio vectorial real unidimensional es simplemente una multiplicación por escalares. En otras palabras, tenemos $[r_k]_v = [r'_k]_{v'}$ donde $r_k = s^kr'_k$ cuando $v = s v'$ .

Usando esto podemos invertir formalmente la expansión de la serie de potencias para encontrar lo que $\ln$ "debería" ser. Fijar una unidad $v$ . Toma $(r_k) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ y considerar $[r_k]_v \in A$ . Para encontrar $\ln [r_k]_v$ necesitamos encontrar $(s_k)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tal que

$$ \begin{align} r_0 & = \exp s_0\\ r_1 & = e^{s_0} s_1 \\ r_2 & = e^{s_0} (s_2 + \frac{1}{2} s_1^2)\\ & \vdots \end{align} $$

(También podemos utilizar la expansión de Taylor de $\ln$ alrededor de $1\in\mathbb{R}$ para obtener la expresión de $(s_k)$ en términos de $(r_k)$ .)

Por desgracia, incluso en este marco $\ln 1 km$ todavía no está bien definida: en la imagen de $\exp$ , $r_0$ es necesariamente positivo. Formalmente, es posible definir $\ln (1 km) = \ln (1 + (1 km - 1))$ como la serie de potencia bastante divergente

$$ \ln (1 m) = \sum \frac{(-1)^{k+1}}{k} (-1 + 1 (m))^k = \sum \frac{-1}{k} + \sum 1(m) - \sum \frac{k-1}{2} (m^2) + \cdots $$

Ahora un poco de diversión con las series divergentes: nota que $\sum 1 = \sum (-1)^k(-1)^k = \sum (-1)^kx^k |_{-1}$ es la expansión en serie de Taylor de $1/x$ alrededor de $x_0 = 1$ evaluado en $-1$ por lo que el segundo término es nominalmente $\lim_{x\to 0+} 1/x$ . Así que incluso si regularizamos:

$$ \lim_{\delta \to 0+} \ln (\delta + 1m) = \lim_{\delta \to 0+} \ln \delta + \delta^{-1} m + \cdots $$

sigue siendo muy divergente.

(Obsérvese que, sin embargo, $\ln (1 + 1km) = \sum (-1)^{j+1}/j (km)^j$ está bien definida como una serie de potencia formal).

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Entonces, ¿cuál era el objetivo de este post? Este post está dirigido principalmente a la conclusión de que $\log m$ es un "número adimensional" como se indica en el enunciado de la pregunta. Aunque en la aritmética habitual se nos enseña que no podemos sumar manzanas con naranjas, eso es sólo si adoptamos el punto de vista de intentar sumar un objeto en el $\mathbb{Z}$ -de las manzanas a un objeto separado en el $\mathbb{Z}$ -módulo de naranjas. Si está dispuesto a trabajar en el módulo de suma directa de las manzanas $\oplus$ naranjas, sí que se pueden añadir manzanas a las naranjas.

Ahora, implícitamente al afirmar que $\log$ tiene sentido para objetos con unidades, (y de forma similar que $\exp$ tiene sentido para los objetos de las unidades), es necesario que trabajemos ya en un sistema, el de la gradación $\mathbb{R}$ -en la que se puede sumar un escalar (un objeto sin unidades) a un vector (algún objeto con unidades). Así que al afirmar que se quiere dar sentido a $\log km$ no se puede concluir de ello que $3$ y $\log m$ deben tener las mismas unidades.

Answer 3

Esta es una pregunta divertida. Me cuesta mucho entender la transformación que supone $ln$ así que escribiré las cosas en términos de exponentes.

$$\mathrm{value} = \ln(10\ \mathrm{ km})$$ $$e^{\mathrm{value}} = 10\ \mathrm{ km}$$

El número $e$ es, por supuesto, sin unidad. Si elevo un número a una potencia, ¿cuáles son las unidades admisibles de la potencia? Si escribo $x^2$ Tengo una suposición intuitiva de que $2$ no tiene unidades, porque es sólo un recuento utilizado para expresar $x \times x = x^2$ .

Así, me he convencido de la respuesta de Carl, y requeriría un logaritmo para tener una referencia que tenga sentido. Por ejemplo:

$$e^{\mathrm{value}} = \frac{ 10\ \mathrm{ km} }{1\ \mathrm{ km}}$$

La alternativa anterior de $e$ elevado a una potencia que equivale a una cantidad física con unidades reales parece el ejemplo perfecto de algo que no tiene sentido.

gráficos logarítmicos

Tengo otra pregunta derivada de la tuya y trataré de responderla aquí. Recuerdo específicamente haber tomado la derivada de los gráficos log-log y linear-log en las clases de ingeniería. Tuvimos alguna justificación para ello, pero parece no tener sentido en la superficie, así que vamos a sumergirnos. Aquí hay un ejemplo de un gráfico logarítmico. Mostraré el gráfico y luego ofreceré una ecuación de la línea que se está representando.

Fuente de la imagen: Wikipedia

Empezaré a escribir las cosas desde lo básico $y=mx+b$ forma, y luego cambiar las cosas según sea necesario. Como estoy usando una constante arbitraria, la falsearé siempre que sea necesario.

$$\log(p) = a \log(m) + b = a ( \log(m) + b' ) = a \log( b'' m ) = \log( b''^a m^a ) = \log\bigg( \frac{p_0}{m_0^a} m^a \bigg) $$ $$p = p_0 \left( \frac{m}{m_0} \right)^a$$

Como por arte de magia, aparece una forma reconocible. Observar una relación lineal en un gráfico logarítmico significa realmente que estás observando un ajuste de potencia, no un ajuste lineal. Un alumno puede seguir preguntando "pero ¿qué son a y b?", lo cual es un poco más difícil. En primer lugar, no he manipulado $a$ por lo que se puede tomar el significado directamente de la forma final, es decir, es un exponente y, por lo tanto, sin unidades. Para b:

$$b = a b' = a \log(b'') = a \log\bigg( \frac{p_0^{1/a}}{m_0} \bigg) = \log\left( \frac{p_0}{m_0^a} \right) $$

Esto demuestra que $b$ también es sin unidades, pero también da interpretación a $p_0$ que es el valor y de referencia en un valor x de referencia ( $m_0$ ). Pasaré a un gráfico lineal-log, o a una escala semi-lógica.

Fuente de la imagen: J. Exp. Med. 103 , 653 (1956).

Dotaré $f$ para "fracción superviviente" y $d$ para la dosis. La ecuación para una regresión que parece lineal en el gráfico anterior será la siguiente.

$$\log(f) = a d + b$$ $$f = e^{a d + b} = e^b e^{a d} = f_0 e^{a d}$$

Es importante señalar aquí que $b$ tenía unidades dudosas todo el tiempo, al igual que en el caso log-log, pero realmente no importa porque una forma más útil sale de las matemáticas de forma natural. El valor $f_0$ sería el valor de referencia (100% en este caso) en $d=0$ .

Resumen: asumir una relación lineal en los gráficos logarítmicos realmente hace suponer que la relación real sigue alguna no lineal y las unidades se resolverán una vez que hagas las matemáticas, pero la interpretación de los valores puede no ser trivial.

Answer 4

La mejor manera de pensar en ello es que un número como 1 km consiste en un 1 adimensional multiplicado por una unidad, el km. Cuando se toma el logaritmo de un producto, se obtiene la suma de los logaritmos, por lo que log(1 km) es lo mismo que log(1)+log(km). Esto demuestra que el logaritmo de 1 km no es una cantidad adimensional ni dimensionable. Si fuera adimensional, entonces sería expresable sin referencia a ningún sistema de unidades. Si fuera adimensional, entonces cambiaría por multiplicación cuando se cambiara el sistema de unidades. No es ninguna de estas cosas.

Answer 5

Es algo que no es ni una cantidad física ni un número adimensional, sino algo que puede describirse simplemente como logaritmo de una cantidad física . No hay mucho problema con esto: dejemos $\mathcal{P}$ sea el espacio de las magnitudes físicas. Podemos abarcar este espacio de forma similar a un espacio vectorial mediante unidades físicas básicas (por ejemplo, el SI), tal y como describe Willie Wong. Lo importante: sabemos que no podemos realizar ciertas operaciones en este espacio, por ejemplo no podemos sumar una masa a una corriente eléctrica. Suma de cantidades $a,b\in\mathcal{P}$ sólo se define si $a$ y $b$ tienen la misma dimensión, es decir, si $\exists x\in\mathbb{R}$ tal que $a=xb$ . La multiplicación siempre está definida y siempre da lugar a una cantidad física de nuevo. (También se definen las potencias de las cantidades físicas, pero no lo que es, por ejemplo, la exponencial de una de ellas).
Entonces sabemos que $\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$ ya que para, por ejemplo, dos longitudes $a,b\in\mathcal{P}$ la relación $\tfrac{a}b$ será un número adimensional. Para estas cantidades adimensionales, el logaritmo está definido desde el principio.

Es bastante sencillo ampliar esto a un espacio completo $\ln\!\!\mathcal{P}\supset\mathbb{R}$ : para $a\in\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$ , el logaritmo se define normalmente como. Para $a\not\in\mathbb{R}$ definimos el logaritmo de forma axiomática: primero requerimos $\ln\!\!\mathcal{P}$ para ser un grupo abeliano con adición, incluso un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ . Entonces, para $\lambda\in\mathbb{R}$ , $$\begin{align} \ln(a^\lambda) &:= \lambda\ln(a) \end{align}$$ y para $b\in\mathcal{P}$ , $$ \ln(ba) := \ln(b) + \ln(a). $$ Siempre que $a$ y $b$ tienen la misma dimensión y por lo tanto se pueden sumar, esto ya nos dice el logaritmo de la suma: sabemos que entonces $\exists x\in\mathbb{R}\colon b=ax$ En otras palabras, podemos escribir cualquier suma de magnitudes físicas como producto de una de ellas por un número real, por lo que el logaritmo de cualquier longitud se reduce al logaritmo de cualquier longitud particular, más el logaritmo de la relación entre las longitudes.

Volviendo a tu pregunta: ¿qué es el logaritmo de un kilómetro? La respuesta: $\ln(1\:\mathrm{km})=\ln(\mathrm{km})$ . Si considera los kilómetros como la unidad básica de longitud, esto es todo lo que necesita. Si prefieres los metros o las pulgadas o lo que sea, simplemente obtienes $$ \ln(1\:\mathrm{km}) = \ln(1000\:\mathrm{m}) = \ln(1000) + \ln(\mathrm{m}) $$ $$ \ln(1\:\mathrm{km}) = \ln(\tfrac{1\:\mathrm{km}}{1"}\:\mathrm{"}) = \ln(\tfrac{1\:\mathrm{km}}{1"}) + \ln(\mathrm{"}) \approx 10.58 + \ln(\mathrm{"}) $$ Aquí, $\ln(\mathrm{km}),\ln(\mathrm{m}),\ln(\mathrm{"})$ son no números adimensionales. Piensa más bien en ellos como elementos de un espacio vectorial que tiene los números reales como subespacio.