51 votos

¿Es posible formular la teoría de la categoría sin teoría de conjuntos?

Nunca he entendido por qué la teoría de conjuntos tiene muchos detractores, o lo que es adquirida por evitar su uso.

Es bien sabido que el ingenuo concepto de un conjunto como una colección de objetos conduce a paradojas lógicas (cuando se trata con conjuntos infinitos) que sólo puede ser resuelto por definir el concepto de un conjunto de acuerdo a un sistema de axiomas.

Con este contexto, por favor alguien puede ayudarme a entender el siguiente pasaje de las Categorías para el Trabajo Matemático, en el Capítulo 1, los dos primeros párrafos (énfasis añadido):

Primero describimos las categorías directamente, por medio de axiomas, sin el uso de cualquier teoría de conjuntos, y los llaman "metacategories". En realidad debemos estar con una noción simple, una (meta)gráfico.

Un metagraph se compone de objetos a,b,c..., flechas f,g,h,..., y dos operaciones de la siguiente manera:

Es realmente posible para evitar el uso de la teoría de conjuntos en los cimientos de la categoría de teoría, simplemente mediante el uso de la frase "los objetos a,b,c ..." en lugar?

Gracias!

24voto

Matt Dawdy Puntos5479

ZF teoría de conjuntos, por el bien de la especificidad, permite hacer preguntas que yo (y probablemente muchos otros teóricos de la categoría) respecto como carente de sentido: debido a que los elementos de los conjuntos de otros conjuntos, para cualquier par de conjuntos de $X$ y $Y$, es significativo en ZF para preguntar si $X$ es un elemento o un subconjunto de $Y$. Por ejemplo, usted puede preguntar si $\mathbb{R}$ es un elemento o un subconjunto de $\pi$. Mi principal motivación para evitar que la teoría de conjuntos es evitar estos tipos de preguntas sin sentido, que creo que realmente hacen a las matemáticas más difícil de aprender.

(Las declaraciones acerca de los conjuntos que considero significativos son los que se pueden hacer en la teoría elemental de la categoría de los conjuntos; por ejemplo, usted puede preguntar si dos conjuntos son isomorfos, lo que el límite o colimit de un diagrama de conjuntos, etc.)

(Por ejemplo, en las matemáticas.SE que una vez vio a la pregunta "¿el homsets en una categoría supone ser distintos o pueden tener trivial intersección?" y la respuesta correcta es que esta es una pregunta sin sentido, pero dependiendo de cómo profundamente de alguien borracho ZF de kool-aid, esta puede ser una forma tremendamente difícil explicación para tragar.)

Los "objetos" en una descripción directa de las categorías tienen el mismo estatus ontológico de los "conjuntos" en una descripción directa de los modelos de la teoría de conjuntos.

19voto

JoshL Puntos290

Desde un punto de vista formal es posible el estudio de la categoría de la teoría dentro de la categoría de la teoría, el uso de la noción de topos. Topos teoría hace muchas cosas, pero una cosa que ofrece es una alternativa, la categoría de la teoría de la fundación para las matemáticas.

Al aumentar el topos de la teoría con la suficiente adicionales axiomas, es teóricamente posible volver a construir todo de ZFC dentro de los topos de la teoría. Así que, si alguien puede estudiar categoría de la teoría ZFC, que pueden hacer la misma cosa por el estudio de la categoría de la teoría dentro de ZFC dentro de la teoría de topos! O pueden estudiar categoría usando teoría de topos teoría, sin el uso de ZFC como un paso intermedio. Un desafío práctico para hacer esto es que los axiomas de un topos son sin duda más complicado que el de los axiomas de ZFC, que aparte de la sustitución de todo puede ser justificado en términos de relativamente propiedades básicas de los conjuntos.

Otra manera de mirar a algunas de las cuestiones planteadas en este hilo es mirar a la noción de tipo. No es una buena analogía para la diferencia entre ZFC vs algunos categórica fundaciones: es como la diferencia entre un tipo de lenguaje de programación (como el Esquema) y un establecimiento inflexible de tipos de lenguaje de programación (como Java o C++).

En el Esquema y otro tipo de idiomas, no hay separación entre el código y los datos: dado que cualquiera de los dos objetos, podemos tratar a la primera como una función de la segunda como una entrada, y (intento de) calcular la salida correspondiente. Así, por ejemplo, podríamos definir los números naturales utilizando Iglesia números, el tratamiento de "$5$" como una función, y calcular su valor en el par ordenado $(0,17)$. Por supuesto, nadie hace esto en serio en la práctica. Del mismo modo, en ZFC, nos podemos preguntar si los $\pi$ es un miembro del par ordenado $(8, \mathbb{R})$, aunque en la práctica nadie lo hace en serio.

En Java y C++, existen estrictas definiciones de cada tipo de datos. Por ejemplo, si tengo un "número natural" del objeto, y quiero un "número real" del objeto, que necesito para convertir ("cast") el objeto original para tener el tipo adecuado. Pues yo directamente no se puede agregar $1_\mathbb{N}$ y $\pi_\mathbb{R}$. Esto es similar a la forma en que algunos categórica fundaciones manejar las cosas. En lugar de hablar de "casting", estas fundaciones se enfocan en la "inclusión natural de" mapa de $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}$, etc.

Vale la pena saber que hay muchos otros tipos de teorías, además de las inspirado por la teoría de topos. Hay intuitionistic tipo de teoría, que es muy potente, y la clásica de segundo orden de la aritmética, que es mucho más débil, pero que todavía es capaz de formalizar casi todos licenciatura de matemáticas.

Yo creo, como la mayoría de los que trabajan en fundamentos de la matemática, la de los ingenuos informal de las matemáticas en la práctica se realiza en una especie de complicado (e informal) tipo de teoría. Esto hace que el tipo de teoría de bases mucho más natural para muchos matemáticos, muchos de los cargos establecidos para ZFC resto de la falta de tipificación en la teoría de conjuntos. Tipo Simple de la teoría de las fundaciones podría decirse que es una forma más natural en el sistema formal de ZFC para muchos propósitos prácticos, así como de Java es una de las más prácticas del lenguaje de Esquema para muchos propósitos.

Por otro lado, la falta de tipificación en ZFC, como la falta de tipificación en el Esquema, es útil para muchos teóricos a los efectos de, y por lo tanto es bueno para los matemáticos a ser consciente de un tipo de sistemas. Por ejemplo, para hacer un modelo de ZFC sólo necesitamos definir una indefinido relación, $\$. Para hacer un modelo de tipo de teoría, hemos de poner el sistema de tipos, a continuación, colocar un dominio para cada tipo, y también poner todos los mapas entre los tipos y las operaciones de cada tipo. Esto es mucho más complicado. De forma análoga, es un ejercicio común en ciencias de la computación clases de pedirle a los estudiantes a escribir un intérprete de scheme en el Esquema, o incluso para escribir un Esquema de compilador en lenguaje ensamblador, pero no es común para preguntar a los estudiantes a escribir un intérprete de Java en Java, y mucho menos en el lenguaje ensamblador.

11voto

np8 Puntos555

Como Kevin ha señalado en los comentarios, una de las posibles axiomatisation de la categoría de "teoría" es la Teoría Elemental de la Categoría de las Categorías. La mejor referencia que he podido encontrar es un papel por McLarty (que no es necesariamente Lawvere la formulación original).

En ella McClarty establece dos clasificados de la teoría, con un tipo de variables que van más categorías, y la otra sobre functors. Se muestra como a partir de 8 axiomas (un esquema), esta teoría puede formular y probar muchos de los resultados de la categoría de la teoría, incluyendo propiedades que quizá no de inmediato esperar, por ejemplo, las propiedades de la categoría de grupos de $G$ en una determinada categoría $$ ($G$ y $Un$ son los dos objetos de la teoría), y de una mónada (triple) en una categoría.

Por lo tanto es posible que a lo largo de estas líneas, los axiomas podría ser dado que era suficiente para el razonamiento habitual utilizado por los teóricos de la categoría.

Sin embargo, no me suena como esto aún no ha sido concluyente - de hecho hay un gran número de nociones que los teóricos de la categoría de uso (echando un vistazo a los títulos en la última edición de una categoría de la teoría del diario, vemos una fuerte homotopy, categorías de modelo, débil trenzado monoidal categorías, algebraicas kan extensiones, etc), la mayoría de los cuales son mucho más complicadas que las McClarty ocupa. Por otra parte, la categoría de los teóricos están llegando siempre con nuevas nociones, por ejemplo, muy recientemente (creo..), $\infty$-categorías y similares. Cuando la formulación de estas nociones, que no están trabajando en ETCC: las construcciones para definir un nuevo tipo de categoría y dar ejemplos de ello son a menudo (en la base) en términos de conjuntos - por ejemplo, $\infty$-categoría tiene una torre infinita de conjuntos de morfismos (morfismos, morfismos entre morfismos etc). Que podría ser que un día alguien va a venir para arriba con una definición de $\infty$-categorías en términos de ETCC: pero (a mi conocimiento) esto no se ha hecho, y no hay manera uniforme de traducir el conjunto teórico de las caracterizaciones que son en realidad de "tipos" de las categorías (como $\infty$-categorías) en el lenguaje de la ETCC.

Si esto es correcto, no parece que los axiomas se han presentado suficientes para las prácticas actuales de la categoría de teoría (que incluye la posibilidad de definir nuevos tipos de categorías). En este sentido, la categoría de teoría aún en la actualidad las necesidades de la teoría de conjuntos que se formulen.

EDIT: Aunque en realidad se ve como se puede hacer análogos de los lotes de conjunto teórico de razonamiento en el ETCS, así que, probablemente, también en el ETCC, por lo que podría ser capaz de traducir el tipo de construcciones teóricas que he mencionado anteriormente en ETCC, después de todo. Posiblemente la principal diferencia entre estas teorías categóricas y la teoría de conjuntos es entonces que lo que Qiaochu menciona: que la categoría de teorías no permiten la formulación de ciertas preguntas irrelevantes

9voto

Hurkyl Puntos57397

Uno no suele axiomáticamente definir la noción de conjunto1 — teorías como ZFC axiomáticamente definir un universo de conjuntos, de manera similar que en álgebra lineal, no definimos los vectores, podemos definir espacios vectoriales.

También tenga en cuenta, por ejemplo, que la "teoría de un espacio vectorial" no dice que se tiene un conjunto de vectores, sólo que hay elementos de la teoría, a la que llamamos vectores. Conjuntos de entrar en la imagen cuando pedimos conjunto teórico de los modelos de la teoría: que es, pedimos un conjunto y algunas de las funciones entre conjuntos que satisfacen el espacio vectorial axiomas, cuando debidamente interpretado en estos términos.

La "teoría de la categoría" es de la misma manera; los elementos de la teoría vienen en dos tipos: los objetos y las flechas. (hay otras versiones de la teoría de que el uso de un solo tipo, para aquellos que así lo quieren) La única vez que le pedimos que haya un conjunto de objetos y un conjunto de flechas, o de los objetos y las flechas a sí mismos se establece, es que cuando le pedimos un conjunto teórico del modelo de la teoría de una categoría.

A diferencia del caso de espacios vectoriales, no estamos siempre tan dispuestos a limitar nuestra atención sólo en el conjunto de la teoría de modelos; por ejemplo, uno podría preguntar a considerar la categoría de todos los conjuntos y funciones entre ellas; naturalmente, esto no puede ser un conjunto teórico del modelo, porque no hay un conjunto de todos los conjuntos!

Categoría de la teoría también desarrolla su propia marca de la lógica formal, y es la costumbre de considerar otros tipos de modelos de teorías — cosas como "grupos internos" o "categorías internas", donde podemos interpretar la teoría como hablar acerca de los objetos y las flechas en lugar de conjuntos y funciones, así que no hay incentivo para hablar de teorías de una manera que no está fuertemente ligada a la semántica basada en la teoría de conjuntos.


Dicho esto, usted no puede conseguir lejos de la teoría de conjuntos totalmente; de la lógica de primer orden es en sí misma una forma de la teoría de conjuntos y la lógica de orden superior, aún más.

Además, el Conjunto (o de otras categorías de la constitución) juegan un papel importante en la categoría de teoría, por lo que cualquier aproximación a las fundaciones que no empiece con alguna forma de la teoría de conjuntos se va a tener que desarrollar su propia marca de teoría de conjuntos para tomar su lugar.


1: en Realidad, no es una mala idea hacerlo, sólo que lo hacen con el trivial de la teoría que no tiene axiomas, funciones, constantes, sin relaciones, sin nada, así que no hay mucho para aprender de ella

7voto

notpeter Puntos588

Es un poco sutil pregunta. Como usted dice, MacLane definición se parece mucho a la simple eliminación de la palabra "conjunto" de la serie basada en uno, que parece sospechoso. Como también se mencionó, de una manera más formal para hacer MacLane la reclamación sería decir algo como

Una categoría es un modelo de la teoría de la $T_{cat}$ cuya lengua tiene dos tipos $S,M$ y los símbolos de la función $s,t:M\to O,i:O\to M$, la satisfacción de los axiomas...

Ahora, esto no le funciona, ya que no se puede describir la composición, para lo cual es necesario añadir algunos detalles de la lógica (una cierta noción de la "retirada" de tipos.) Pero es de esperar que aclara lo que MacLane está reclamando, sin embargo.

Dejando a la necesidad de que la composición de barrido debajo de la alfombra, surgen dos preguntas. Podemos estudiar $T_{cat}$ directamente sin necesidad de postular la teoría de conjuntos? Este sería, en esencia, la prueba de la teoría de categorías, formalmente visto como tratando de demostrar teoremas que involucran finito de cadenas de $s,t,i,\circ$ unió a través de la norma lógica de cuantificadores. Observando la aparición de la palabra "finito" en la frase anterior, creo que tienes que tener algunas ideas acerca de los conjuntos de justificar prueba de la teoría, en particular, una cierta noción de finitud. Pero en hacer la prueba de la teoría, en este caso, la categoría sintáctica de la teoría, la cuestión de si una cadena es finita nunca viene, así que a partir de este ángulo de una categoría teórico, en la práctica nunca se necesita para pensar acerca de los conjuntos de forma explícita. Y aun con respecto a la justificación, donde queremos explicar realmente lo que estamos haciendo en una forma precisa, no parece que usted necesita casi toda la fuerza de "estándar" de la teoría de conjuntos.

La segunda pregunta que surge, cuya motivación debe ser clara, es si hay alguna de las categorías. Que bien puede ser que falte alguna sutileza en la literatura sobre este, pero me parece que para esto debe simplemente aceptar tan intuitivo que $\cdot \a \cdot$ y otras inscripciones dar ejemplos de modelos de $T_{cat}$ o bien recurrir a algún tipo de teoría de conjuntos para definir exactamente lo que usted quiere decir diagrama. Para mí y para muchos otros, afirmando que la categoría de $\cdot\a\cdot$ existe no es más controvertido que afirmar que $\{\}$ existe: no sentimos la necesidad de reducir la intuición de que hay cosas y formas de relacionarse de las cosas más básicas de la intuición de que hay cosas. Algunas personas han afirmado que las categorías son sólo, obviamente, demasiado complicado para postular a la vez, sin embargo, y para ellos no es la teoría de conjuntos. De todos modos, todo esto es bastante sólidamente en el nivel de la justificación, de explicar a un no-categoría teórico o incluso a un no-matemático ¿qué son exactamente los objetos con los que trabaja. En el nivel de la práctica, nada de esto es necesario a todos, aunque la mayoría de la gente encuentra la teoría de conjuntos útiles para trabajar con las categorías construidas de conjuntos infinitos.

Por otro lado, las preguntas acerca de disjointness de homsets debe ser fácilmente enviados por la observación de que $T_{cat}$ no hace ninguna provisión para las intersecciones, por lo que este tipo de preguntas son inherentemente acerca de los aspectos contingentes de la modelo, en lugar de la teoría-entonces, no son más significativos que preguntar si a cada número real tiene un elemento que finalmente ha denominador no divisible por 7.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: