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Hay un paso a paso de lista de verificación para comprobar si un multivariable límite existe y encontrar su valor?

Nosotros dependemos cierta intuición o es que hay un no oficial general crudo lista de verificación que debo seguir?

Yo tenía un amigo que me dice que si la suma de las potencias en el numerador es más pequeño que el denominador, hay una mayor probabilidad de que tal vez no existe.

Y si la suma de poderes en la que el numerador es mayor que el denominador, lo más probable es que existe.

También si hay un pecado o cos o e-constante, lo más probable es que existe.

¿Cómo puedo saber qué hacer en la primera vista dado tan poco tiempo que existe para mí en el examen para meditar? Si me la paso todo mi tiempo en averiguar de una a dos de la ruta de la prueba cuando el límite existe, que sería un gran desastre.

Es este uno de esos casos donde la práctica hace al maestro?

Ejemplo: $$\lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{(\sin^2x)(e^y-1)}{x^2+3y^2}$$

Por favor, dame un toque y donde te la pista.

Ejemplo: $$\lim_{(x,y)\a(0,0)}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{4x^4+y^6}\right)$$

Necesito un consejo para esto también.

Los métodos más comunes que he aprendido de referencia: Dos de la Ruta de la prueba, Coordenadas Polares, en Coordenadas Esféricas, el Valor medio Teorema utilizando las desigualdades.

45voto

Don MacAskill Puntos 1048

Yo no diría que hay un "paso a paso" método para todos los límites, como muchos requieren de un análisis individual y, a veces, una inteligente observación, pero he assembeled una lista de técnicas generales (también he usado esto para responder a esta pregunta).

En general, es mucho más fácil demostrar que un límite no existe, que muestran un límite no existe, y cualquiera de los dos casos puede requerir una inteligente visión o de difícil manipulación. Hay un par de maneras de trabajar con multi-funciones variables para obtener la existencia o inexistencia de un límite:

  1. Probar diferentes caminos. Es decir, parametrizar $x$ y $y$ $x = x(t)$, $y = y(t)$ tal que $(x(0),y(0)) = (a,b)$, donde $(a,b)$ es el punto en el que desea enfoque en el límite. Esta es generalmente la primera opción, y si los caminos son elegidos con criterio, usted va a obtener dos respuestas diferentes, lo que implica la inexistencia del límite, porque para que el límite exista, debe tener el mismo valor a lo largo de todas las rutas posibles. Tenga en cuenta que esta prueba sólo puede ser utilizado para mostrar la inexistencia: demostrar un límite existe requiere más trabajo.
  2. El uso de polar o coordenadas esféricas. Este enfoque puede demostrar que el límite existe en casos especiales, y también puede mostrar que los límites no existen, porque no puede depender de la ruta ($\theta$). Es una buena idea para utilizar cuando se tiene algo que se parece $x^2 + y^2$ o $x^2 + y^2 + z^2$ que es molesto, ya que estos simplemente se convierten en $r^2$ después de la sustitución. Podemos escribir $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, y como los límites que se suelen tomar como $(x,y)\a (0,0)$, ahora debemos mirar lo que sucede como $r\to 0^+$. A veces, esto dependerá de $\theta$, lo que corresponde a una ruta específica ($\theta$ controla la dirección), y a veces, el $i$ te dominan y te dejan con una expresión donde $\theta$ no importa - en este caso, el límite existe. Sin embargo, uno debe ser cuidadoso, porque hay algunas expresiones que parecen ser independientes de $\theta$ como $r\to 0^+$, pero no: por ejemplo, tomar $$ r\frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}. $$ Para cualquier constante $\theta$ tal que el denominador existe (y es distinto de cero), el límite de $r\to 0^+$ es $0$, pero hay ciertas rutas de $\theta = \theta(r)$ a lo largo de la que el valor de la limitación no será de $0$.
  3. $\delta \epsilon$ pruebas: Cuando correctos, estos muestran la existencia de un límite. Sin embargo, uno ya debe saber lo que el límite es de antes de que este tipo de prueba es posible. Si usted no está familiarizado con $\delta \epsilon$ argumentos, la sentencia es: Dada una función $f : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, decimos $$ \lim_{\vec{x}\\vec{x}_0} f(\vec{x}) = L $$ si por cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que $\left|\,f(\vec{x}) - L\right| < \epsilon$ siempre $d(\vec{x}, \vec{x}_0) < \delta$. Aquí, $d(\vec{x}, \vec{x}_0)$ se refiere a la distancia Euclidiana $n$-espacio (por ejemplo, con $n = 2$ tenemos $d((a,b), (c,d)) = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}$.) Este enfoque debe ser utilizado si usted ya está convencido de que el límite existe y es igual a $L$.
  4. Usar el álgebra y la teoría. Usted probablemente ha visto que el producto y la suma de funciones continuas son continuas, y que para funciones continuas, el límite puede ser evaluado por "conectar". Además, si $f$ es continua, entonces usted puede mover un límite en el exterior a un límite en el interior: $\lim_{p\a} f(g(p)) = f(\lim_{p\a} g(p))$. Si usted puede identificar que la función es continua, o al menos se convierte en continua después de la manipulación algebraica (por ejemplo, la cancelación de una "mala" factor del denominador), puede utilizar los teoremas decir que el límite existe. Otro útil teorema es el teorema del sándwich: si usted inteligentemente puede vinculado a su función en ambos lados por dos funciones que tiende a el mismo límite, usted sabe que el límite existe.
  5. Como Norbert notas, otra técnica útil es la expansión de su no-funciones elementales en serie de Taylor y el uso de big $O$ notación. Generalmente, usted puede convertir la problemática límite de un cociente y ampliar el no-funciones elementales cerca del punto en cuestión para obtener un polinomio de lo suficientemente alto grado, tanto en el numerador y el denominador (más un término de error que no juegan un papel): es decir, su función $\frac{f(t)}{g(t)}$, donde $f$ y $g$, que son combinaciones de funciones cuyo crecimiento no sabe mucho acerca de, se convierte en $\frac{P(t) + O(t^n)}{Q(t) + O(t^n)}$, donde $P$ y $Q$ son polinomios, y $$ \lim_{t\to 0}\frac{P(t) + O(t^n)}{Q(t) + O(t^n)} = \lim_{t\to 0}\frac{P(t)}{Q(t)}, $$ debido a que los términos de error ($O$ términos) son insignificantes. Algunos ejemplos para el caso variable se puede encontrar aquí, y en el caso multivariable funciona de la misma manera, sólo el uso de la multivariable versión de Taylor teorema.

12voto

mona Puntos 38

Creo que no hay un método común para todos los tipos de límites. Usted necesita disminuir significativamente la gama de posibles funciones para obtener al menos algún tipo de un mapa de carreteras.

Para este particular dos límites que sugieren las siguientes dos "nuevo" enfoques:

  1. La primera de ellas es el uso de equivalencias (o más de uso general de expansión en series de Taylor). Desde $\sin x\sim x$ y $e^y-1\sim$ y obtenemos $$ \begin{align} \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{\sin^2 x(e^y-1)}{x^2+3y^2}&= \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2 y}{x^2+3y^2}\frac{\sin^2 x}{x^2}\frac{e^y-1} de{y}\\ &=\left(\lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2 y}{x^2+3y^2}\right)\left(\lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{\sin^2 x}{x^2}\right)\left(\lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{e^y-1} de{y}\right)\\ &=\lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2 y}{x^2+3y^2}\\ \end{align} $$ El último límite existe y es igual a $0$. De hecho $$ 0\leq \left|\frac{x^2y}{x^2+3y^2}\right|=\frac{x^3|y|}{x^2+3y^2}\leq\frac{x^2|y|}{2\sqrt{3}xy}=\frac{1}{2\sqrt{3}}x\;\mathrm{sign}\; y $$ $$ \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{1}{2\sqrt{3}}x\;\mathrm{signo}\; y=0 $$ Por lo tanto por medio del teorema del valor $$ \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2 y}{x^2+3y^2}=0 $$ así $$ \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{\sin^2 x(e^y-1)}{x^2+3y^2}=0 $$

  2. El segundo es el uso de continuiuty de fucntions. En su caso particular, este es de $\exp$, entonces $$ \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{x^4+3y^6}\right)=\exp\left(-\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{4x^4+y^6}\right) $$ Ahora vamos a introducir coordenadas polares para evaluar el límite interno $$ \begin{align} \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2+y^2}{4x^4+y^6}&= \lim\limits_{r\to 0}\frac{r^2}{4r^4\cos^4\phi+r^6\sin^6\phi}\\ &=\lim\limits_{r\to 0}\frac{1}{r^2(4\cos^4\phi+r^2\sin^6\phi)} \end{align} $$ De nuevo utilizamos las desigualdades $$ r^2(4\cos^4\phi+r^2\sin^6\phi)\leq r^2(4\cos^2\phi+r^2\sin^2\phi)\\\leq r^2\max(4,r^2)(\cos^\phi+\sin^2\phi)=r^2\max(4,r^2) $$ y más aún para $r<2$, podemos decir que $$ r^2(4\cos^4\phi+r^2\sin^6\phi)\leq r^2\max(4,r^2)\leq 4r^2 $$ por lo tanto $$ \begin{align} \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2+y^2}{4x^4+y^6}&= \lim\limits_{r\to 0}\frac{1}{r^2(4\cos^4\phi+r^2\sin^6\phi)}\\ &\geq\lim\limits_{r\to 0}\frac{1}{4r^2}=+\infty \end{align} $$ y $$ \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{x^4+3y^6}\right)=\exp(-\infty)=0 $$

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