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Recuperación módulos libres de su límite de proyectiva

Deje $\dotsc A_2 \to A_1 \to A_0$ ser una secuencia de surjective homomorphisms de anillos conmutativos. Considerar el límite proyectivo $\varprojlim_i A_i$. Si $S$ es un (infinito) establecer, a continuación, $\varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ es un módulo más de este límite. Se compone de familias $(a_i^s \in A_i)_{s,i}$ $a_{i+1}^s \mapsto a_i^s$ fijos $i$ casi todos los $a_i^s=0$. (Observe que este es mayor que $(\varprojlim_i A_i)^{\oplus S}$!)

Hay un canónica epimorphism de $A_0$-módulos $$\alpha : \varprojlim_i (A_i^{\oplus S}) \otimes_{\lim_i A_i} A_0 \to A_0^{\oplus S},~ (a_i^s)_{s,i} \otimes u \mapsto (a_0^s u)_s.$$

Pregunta: este Es un isomorfismo? En otras palabras, si $(a_i^s)_{i,s} \in \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ es tal que $a_0^s=0$ todos los $s$, es este elemento, a continuación, contenida en $\ker(\lim_i A_i \to A_0) \cdot \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$?

Observe que $\alpha$ tiene una canónica de la sección $\beta$, la asignación de $(a_s)_s \in A_0^{\oplus S}$$\sum_s (\delta_s)_i \otimes a_s$. A continuación,$\alpha \beta = \mathrm{id}$, y la pregunta es si $\beta \alpha = \mathrm{id}$.

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Kit Ho Puntos 127

Creo que el siguiente le da un contraejemplo.

Deje $k$ ser un campo, y vamos a $A_0=k$, $A_i=k[x_1,\dots,x_i]$ modulo el ideal generado por todos los monomials de grado dos, con el mapa de $A_{i+1}\to A_i$ envío de $x_{i+1}$ a cero. Por lo $A=\varprojlim(A_i)$ se compone de todos infinito formal sumas $\mu+\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots$.

Deje $S=\mathbb{N}$, y para $i\in\mathbb{N}$ vamos $a_i=(a^0_i,a^1_i,\dots)$, donde $$a_0=(0,0,0,0\dots),$$ $$a_1=(x_1,0,0,0,\dots),$$ $$a_2=(x_1,x_2,0,0,\dots),$$ $$a_3=(x_1,x_2,x_3,0,\dots),$$ y así sucesivamente.

A continuación, $(a^s_i)_{i,s}\in\varprojlim_i\left(A_i^{\oplus S}\right)$ todos $a^s_0=0$.

$K=\ker(A \to A_0)$ se compone de todos formal sumas $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots$.

Si $(a^s_i)_{i,s}\in K \cdot \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$, o incluso el $(a^s_i)_{i,s}\in K \cdot A^S$, entonces no es un finitely generadas $A$-submódulo de $K$ que contiene todas las $x_i$.

Pero cada finitely generado submódulo de $K$ es finito-dimensional.

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