52 votos

¿Cuáles son los Diferentes métodos para Introducir las Funciones Elementales?

La motivación

Todos estamos de familiarizarse con las funciones elementales en la escuela secundaria o la universidad. Sin embargo, como el sistema de aprendizaje no es mucho integrado que hemos aprendido a ellos de diferentes maneras y las conexiones entre estas formas no se aclara en su mayoría por los profesores. Una vez que he leído el cálculo en el libro de Apostol, me acabo de enterar de que uno puede definir estas funciones en un tratado de forma sistemática sólo analíticamente. El enfoque utilizado en el libro con algunos cambios de menor importancia, es como esto

$1.$ En primer lugar, introducir el logaritmo natural de la función $\ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ para $x>0$. En consecuencia, se define el logaritmo de la función $\log_{b}x=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$ para $b>0$, $b \ne 1$ y $x>0$.

$2.$ A continuación, introducir los naturales exponencial de la función inversa del logaritmo natural $\exp(x)=\ln^{-1}(x)$. Después, introducir la función exponencial, $a^x=\exp(x\ln(a))$ para $a>0$ y real de $x$. Intercambiando $x$ y $un$, se puede introducir el poder de la función $x^a=\exp(a\ln(x))$ para $x \gt 0$ y real $a$.

$3.$ A continuación, defina hiperbólicas funciones $\cosh(x)$ y $\sinh(x)$ mediante la función exponencial

$$\matriz{ {\cosh (x) = {{\exp (x) + \exp ( - x)} \over 2}} \hfill & {\sinh (x) = {{\exp (x) - \exp ( - x)} \over 2}} \hfill \cr } $$

y, a continuación, la definición de las otras funciones hiperbólicas. En consecuencia, se puede definir la inversa hiperbólico funciones.

$4.$ Finalmente, el autor ofrece tres formas para la introducción de la trigonométricas funciones.

$\qquad 4.1-$ Introduce el $\sin x$ y $\cos x$ funciones por las siguientes propiedades

$$\begin{array}{} 4.1.1- \text{El dominio de $\sin x$ y $\cos x$ es $\mathbb R$} \\ 4.1.2- \cos 0 = \sin \frac{\pi}{2}=0,\, \cos \pi=-1 \\ 4.1.3- \cos (y-x)= \cos y \cos x + \pecado y \sen x \\ 4.1.4- \text {$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ tenemos $0 \le \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{\cos x}$} \end{array}$$

$\qquad 4.2-$ Uso formal de definición geométrica empleando el círculo unidad.

$\qquad 4.3-$ Introduciendo $\sin x$ y $\cos x$ funciones por su serie de Taylor.

y, a continuación, la definición de los otros trigonométricas y a la inversa-trigonométricas funciones.

En mi punto de vista, el planteamiento es bueno, pero parece un poco desconectada como la relación entre el trigonométricas y exponenciales funciones no se muestra como el autor insistió en permanecer en el dominio real, cuando la introducción de estas funciones. También, funciones exponenciales y sólo están definidas para los números reales positivos $a$ y $x$, mientras que puede extenderse a los negativos.


Preguntas

$1.$ Cómo muchos otros enfoques que se utilizan para este propósito? Hay muchos o pocos? ¿Hay alguna lista para esto?

$2.$ Por favor explique sólo uno de los otros heurística formas de introducir las funciones elementales analíticamente con los detalles apropiados?


Notas

  • Histórico comentarios son bienvenidos, ya que proporcionan una buena motivación.

  • Por favor, siéntase libre de añadir sus propias ideas, o lo que creo que es interesante para que podamos tener una valiosa lista de los diferentes enfoques que se registra aquí. Esto puede servir como una buena guía para los lectores futuros.


Enlaces Útiles

22voto

failexam Puntos90

Hay dos canónica de las estructuras de grupo en $\mathbb{R}$: $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$.

La búsqueda de la isomorphisms entre las estructuras.

La identidad es un automorphism en $(\mathbb{R},+)$ y la exponencial es un isomorfismo de $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$.

Además, son el único continuo, de manera isomorphisms, una vez que se fija un valor de $1$.

Así, obtenemos:

La identidad $id$ es el único continua automorphism en $(\mathbb{R},+)$ tal que $id(1)=1$ y la exponencial $\exp$ es el único continua isomorfismo de $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ tal que $\exp(1)=e$.

De estos, todas las demás funciones elementales seguir.


Resumiendo, con el fin de obtener las funciones elementales, sólo se necesita el algebraicamente (y la analítica, ya que hay que suponer que la continuidad) interesantes.


Ampliando un poco, si no desean que se les permita considerar la exponenciación de números complejos, hasta llegar a $\sin$ y $\cos$ de $\exp$ y la identidad puede ser problemático. Por lo tanto, ofrecen otra manera de introducción de $\sin$ y $\cos$. Irónicamente, implica un "complejo" de ideas.

Considerar $C^{\infty}(\mathbb{R})$ y $X: C^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow C^{\infty}(\mathbb{R})$ dada por $$f \mapsto f'.$$ Considere también la identidad de la función $I$ a $C^{\infty}(\mathbb{R})$. Tenemos que $e^{x}$ y $e^{-x}$ son los dos "moral" soluciones (más precisamente, constituyen una base para las soluciones) de $$X^2-I=0.$$ Es natural para la búsqueda de soluciones de $$X^2+I=0.$$ (Parece familiar?) Tenemos entonces que las soluciones con las adecuadas condiciones iniciales son $\sin$ y $\cos$.

10voto

user254665 Puntos4075

$1.$ Napier consiguió aproximado de los logaritmos por el uso repetido de cuadratura para calcular, por ejemplo, que $(1.000001)^{693417}$ es de aproximadamente $2$. Por lo que $\log_{1.000001}2$ es de alrededor de $693147.$ Él iba a "normalizar" los registros a la base de $1+1/n$ dividiendolos por $n$. El número que se le llame a $e$ seguía apareciendo con una normalizado de registro de aproximadamente $1$. Así, la motivación para la definición de

$$\exp (x)=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$

lo que es válido para todo el complejo de $x$.

$2.$ Tengo una afición por definir $\log x=\int_1^x t^{-1}dt$, porque es tan fácil , por un cambio lineal de variables, para mostrar $\log a b =\log a+\log b$.

$3.$ H. Dorrie, en $101$ los Grandes Problemas De la Matemática Elemental, da una breve y simple deducción de la alimentación de la serie por el pecado y cos (únicamente $\pecado'=\cos$ y $\cos'=-\pecado$ y $x>0\x>\sin x$ y que $\cos 0=1,\sen 0=0$ ) que no requiere de fondo en la teoría general de energía de la serie, ni siquiera "finito de alimentación de la serie plus resto término."

5voto

kerchee Puntos66

Puede definir $\sin$ y $\cos$ como soluciones de la ecuación

$$f"=-f$$

La función $\sin$ es la única solución satisfactoria $f(0) = 0, f'(0) = 1$ y $\cos$ es la única solución satisfactoria $f(0) = 1, f'(0) = 0$. En otras palabras, $\sin$ y $\cos$ son las funciones que describen las órbitas de los osciladores armónicos simples. Podemos definir entonces $\pi$ como la mitad del periodo de $\sin$ (una vez que se prueba que es periódico). En otras palabras, $\pi$ es el tiempo que se toma para un oscilador armónico para ir de un extremo valor para el otro (y por lo tanto no tiene nada que ver con círculos).

Ahora vamos a $(x(t), y(t))$ ser las coordenadas de una partícula que se mueve alrededor de un círculo unitario en velocidad uniforme $1$. Desde la distancia de la partícula al origen es constante, el vector de velocidad $(x(t), y(t))'$ debe ser ortogonal a $(x(t), y(t))$, y es la unidad de longitud desde la partícula tiene una velocidad de unidad. Por lo tanto $(x(t), y(t))'=(-y(t), x(t))$.

A partir de esta ecuación podemos deducir $x"=-x$ y $y"=-y$, y las condiciones iniciales son fijados por nuestros supuestos acerca de la naturaleza del movimiento circular. En otras palabras, hemos demostrado que una partícula que se mueve de manera uniforme en un círculo es un oscilador armónico simple. Por lo tanto $x=\pecado, y=\cos$ (y por lo tanto el tiempo necesario para que una rotación es de $2\pi$, de donde el perímetro de la fórmula).

4voto

CodeMonkey1313 Puntos4754

No el tiempo suficiente o lo suficientemente detallados como para la recompensa, y, esencialmente, un brillo en @Ian 's respuesta, pero quizás vale la pena agregar a la discusión.

La mayoría de los estudiantes aprenden las funciones trigonométricas en la escuela secundaria, y tal vez la exponencial. Me gusta reintroducir la exponencial en el cálculo como la función que es su propia derivada, ya que el uso más importante para esa función en las aplicaciones es la solución de la ecuación diferencial $f'(x) = kf(x)$. El nivel de rigor en la definición depende del nivel general de rigor en el curso.

A continuación, el (natural) logaritmo es la función inversa.

Cuando llegues a la alimentación de la serie de conectar la exponencial y funciones trigonométricas mediante la derivación de la identidad $$ e^{ix} = \cos{x} + \sin{x}. $$

A continuación, puede definir las funciones hiperbólicas con el análogo de la fórmula.

3voto

Andy Puntos21

Usted puede proceder a través de los pasos 3 a 5, pero a la inversa los pasos 1 y 2. Una forma de hacerlo es definir $\exp$ como la única solución a $y'=y,y(0)=1$. Procediendo de esta manera toma un poco de trabajo, porque necesita demostrar que el Picard-Lindelof teorema para asegurarse de que no hay una única solución en el primer lugar. Todavía, después de hacer eso, usted tiene $\exp$.

Siguiente, la positividad de $\exp$ se sigue de la unicidad: la solución a $y'=y,y(0)=0$ es $y \equiv 0$ y es único. También, la educación a distancia es autónoma. Por consiguiente $\exp$ no puede cruzar $y=0$. Por lo tanto $\exp$ es monótona, por lo que tiene una inversa que se define en el rango de $\exp$; llamar a este inversa $\ln$.

La última cosa a hacer es mostrar que el rango de $\exp$ es $(0,\infty)$. En primer lugar, tomando dos de los derivados da convexidad, lo que revela $e^x \geq 1+x$; por lo que el límite de $+\infty$ es $+\infty$. La última cosa es mostrar que el límite de $-\infty$ es $0$; esto puede ser demostrado mediante la demostración de la ecuación funcional de $\exp(t+s)=\exp(t)\exp(s) de dólares, que se sigue de la educación a distancia de nuevo.

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