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¿Por qué tantos de los más antiguos problemas no resueltos de matemáticas acerca de la teoría de los números?

Stillwell menciona en su libro, las Matemáticas y su Historia, que:

La mayoría de los muy viejos problemas sin resolver en matemáticas, de hecho, son preguntas sencillas acerca de los números naturales...

Tienen a la gente trató de entender de qué se trata la "topología" (en sentido figurado) de la teoría de los números que hace abrir problema muy difícil de resolver?

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QuentinUK Puntos 116

No creo que las preguntas de la teoría de números son necesariamente más difícil de responder. Más bien, son más fácil preguntar. Los números enteros son objetos conocidos y son fáciles de jugar, y por esta razón más preguntas que probablemente han sido preguntado acerca de ellos a través de la historia que acerca de cualquier otro tipo de objeto en las matemáticas. De vez en cuando, uno de estos problemas se resiste todos los intentos...

Dicho esto, algunos problemas en la teoría de números son increíblemente difíciles de resolver, pero increíblemente fácil de estado. ¿Cuántas soluciones en enteros no $x^{17}+y^{17} = z^{17}$ tiene? Dado un problema matemático, uno podría tratar de cuantificar la relación de "lo difícil que es resolver" a "lo difícil que es para el estado" (tal vez haciendo uso de la longitud de la menor prueba en un determinado lenguaje formal). No me sorprendería si la mayoría de las preguntas de matemáticas que maximiza esta relación en un sentido elemental de preguntas acerca de los números enteros. Por qué? Supongo que es una pregunta filosófica. Tal vez los números enteros son los primeros "altamente no trivial de" objetos " en matemáticas, si los objetos de las matemáticas ser ordenados de acuerdo a la longitud de su definición. Pero realmente, no tengo idea.

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YequalsX Puntos 320

[La pregunta en el cuerpo de la OP es un poco diferente de la pregunta en el título, y parece más interesante para mí. Así que esa es la pregunta que yo estoy respondiendo.]

Es común que se centran en el hecho de que es fácil de estado número de problemas teóricos, desde los conceptos básicos de la teoría de los números son bastante elementales. Esto es cierto, pero creo que vale la pena destacar otro aspecto de la teoría de números que pueden hacer que sus problemas de difícil, que es que la naturaleza elemental de la redacción de algunos problemas pueden desmentir las estructuras ocultas que inspiran su naturaleza más profunda y (finalmente) de su solución.


E. g. considere el problema de la escritura de los números primos de la forma $x^2 + n y^2$. Cuando $n = 1$, es evidente que existe una congruencia obstrucción mod $4$ a la solución de $p = x^2 + y^2$, lo cual implica que, si $p$ es impar, entonces de hecho $p \equiv 1 \bmod 4$. Fermat demostró que esta condición también es suficiente.

Del mismo modo, si queremos escribir $p = x^2 + 5^2$, si $p \neq 2, 5$ hay son evidentes obstáculos: $p$ debe ser un cuadrado mod $5$, y debe ser una suma de los cuadrados mod $4$ y por tanto $1 \bmod 4$. Juntos, estos implica que $p \equiv 1$ o $9 \bmod 20$. De nuevo, Fermat (creo) demostró que esta condición necesaria es suficiente.

Ahora considere la posibilidad de escribir $p = x^2 + 23y^2$. No hay ninguna obstrucción mod $4$, así que la única obstrucción obvia es que $p$ debe ser un cuadrado mod $23$. Sin embargo, esta condición necesaria no es suficiente. E. g. $p = 13$ es un cuadrado mod $23$, pero no puede ser escrita en la forma $x^2 + 23y^2$, y lo mismo es cierto para $p = 29$. (En realidad $p = 59$ es el primer presidente que puede ser de manera escrita.)

La comprensión de este fenómeno llevó a muchos descubrimientos profundos de la estructura en la teoría de los números, tales como la reciprocidad cuadrática, y de Gauss, la teoría de las formas cuadráticas. Estos a su vez fueron los principales contribuyentes al desarrollo de la teoría algebraica de números y de campo de clase de teoría. A partir de un moderno punto de vista la diferencia entre el caso $n = 23$ y los otros que considerar es que el grupo de clase de $\mathbb Z[(1+\sqrt{-23})/2]$ no es un producto de grupos cíclicos de orden $2$ --- en realidad es un grupo de orden $3$.


Otro ejemplo está dado por las fórmulas para las sumas de cuadrados.

Existe una fórmula para el número de formas de escribir un número como la suma de dos plazas: $$r_2(n) = 4\sum_{d |n} \chi(d),$$ donde $\chi(d) = \pm 1$ si $d \equiv \pm 1 \bmod 4,$ y $0$ si $d$ es par.

También hay una fórmula para el número de formas de escribir un número como la suma de cuatro plazas: $$r_2(n) = 8 \sum_{d | n, 4\no\mediados n} d.$$

Hay otras fórmulas similares por la suma de seis o de ocho plazas, pero no para más número de plazas. Es difícil entender esto sin darse cuenta de que estas fórmulas se rige por la estructura de ciertos espacios de las formas modulares, que no contienen cuspforms en pesos bajos, pero que eventualmente contener cuspforms, para los cuales no primaria fórmulas están disponibles.


Hay una enorme cantidad de estructura presente en la teoría de números, a pesar de la primaria de la manera en que algunos de sus problemas puede ser formulada. Creo que esta es una de las razones de sus problemas pueden ser tan difíciles de resolver; porque su redacción no suele hacer esta estructura aparente, pero encontrarlo es necesario para resolver los problemas. (La hipótesis de Riemann puede ser pensado como un ejemplo actual de esta dificultad.)

6voto

Dave Puntos 61

Yo tenía un profesor de matemáticas (primaria la teoría de los números), quien en tono de broma la hipótesis de que esto era debido a que vivimos en una continua mundo, por lo que las pruebas son más evidentes en el análisis de la teoría de números. "Teorema del valor intermedio? Es continua la función! Lo dibujó, sin levantar el lápiz fuera del papel. Que pensaban que?"

5voto

Arctictern Puntos 85

Como DavidH indicado en un comentario, probablemente saber por qué la teoría de números es capaz de producir un número ilimitado de problemas abiertos. Como nadie ha tratado de explicar esto, voy a tratar de dar algunas indicaciones. (Si alguien más tiene el dolor para explicar esto mejor, con gusto me quite de esta respuesta.) Creo que está relacionado con la solución de Hilbert del décimo problema, pero ya el viejo teorema de la incompletitud por Gödel da una razón profunda.

Creo que el punto importante acerca de la ("definible" subconjuntos de los números naturales es que permiten emular el funcionamiento de un cartesiana cerrada categoría. Encontrar una función de sincronización es bastante fácil, y el Cantor ya descrito algunos simple emparejamiento de funciones (y sus inversas). Mientras que la función de sincronización(s) proporcionan un medio para emular el producto de $X\times de$ Y de dos objetos de $X$ y $Y$ (tenga en cuenta que $X\times de$ Y es sólo otro objeto, y todos los objetos son "definible" subconjuntos de los números naturales en este contexto), emulando el exponencial $Z^Y$ de dos objetos es mucho menos evidente. Se tiene que describir el "definible" las funciones de $Y$ a $Z$. (En realidad no estoy completamente seguro de lo que realmente ha de describir. Se debe describir las "flechas" entre el "definible" subconjunto $Y$ y el "definible" subconjunto $Z$, y me acaba de decir que estos son los "definible" funciones entre $Y$ y $Z$.) Lo interesante es que "Yuri Matiyasevich utilizó un método que implican los números de Fibonacci con el fin de mostrar que las soluciones a los Diophantine ecuaciones pueden crecer de forma exponencial.", es decir, la exponenciación se produce aquí en dos diferentes, pero relacionados con los significados.

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