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Singular matriz jacobiana?

Tengo una serie de preguntas, en diversos grados de confusión muddledness (y están relacionados a mis preguntas anteriores: este y este)

Primera pregunta: ¿cómo puedo hacer un cambio de variable si el determinante del jacobiano es singular?

La configuración de esta pregunta es el siguiente: tengo una $n$-dimensionales estándar de la variable aleatoria gaussiana $u \sim N(0,I)$ y un fijo $v \in \mathbb{R}^n$. A continuación, defina la variable aleatoria $$z = u - \frac{u^Tv}{v^Tv}v$$ y me gustaría derivar una densidad de $z$. Para la verificación Jacobiana: $$\frac{dz}{du} = I - \frac{vv^T}{v^Tv}$$ que resulta ser singular y tan $|\frac{dz}{du}|=0$. ¿Significa esto tratando de hacer un cambio de variable es fundamentalmente malo aquí? O hay una manera de hacer esto?

Segunda pregunta: Aparte de la Jacobiana, no estoy seguro de cómo cambiar una distribución normal estándar en $u$ a una distribución en $z$. Así, si la densidad en $u$ es $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-u^Tu/2)$$ existe una función inversa $z^{-1}$ tal que $z^{-1}(z) = u$? Entonces (creo) $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-u^Tu/2) du = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^{-T}z^{-1}/2) \left|\frac{dz}{du}\right| du$$ Así, hay una $z^{-1}$? Y si existe, ¿qué es?

Tercera pregunta: en última instancia, estoy tratando de responder esta pregunta. Voy a hacer acerca de esto de la manera correcta pidiendo a las dos preguntas anteriores? (La persona que respondió a mi pregunta no dice algo acerca de Haar medida que yo nunca había oído hablar de antes, así que no esclarecedor para mí como una prueba.)

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willlma Puntos 148

Creo que para la segunda pregunta... Si $f$ es la densidad de v. a. $u$ con $$f(u\;\vert\;\mu={\bf 0},\sigma={\bf I})$$ de acuerdo a la transformación de $z$, luego $$f(z\;\vert\;\tilde{\mu},\tilde{\sigma})=f\left(u(z)\;\vert\;\mu={\bf 0},\sigma={\bf I}\right)\left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|$$ (respeto a $dz$!!!)

P. D.: disculpe mi inglés ;)

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