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¿Qué es una definición intuitiva de "conjugado" en teoría de grupos?

En álgebra abstracta, me enteré de "conjugación" en el contexto de un grupo $H$ siendo un subgrupo 'normal' de $G$ si el elemento $xhx ^ {-1} \in H$ cualquier $x\in G $. Pero esto no es la primera vez que he visto la palabra 'conjugado'. Las otras veces que he visto estos son pre calculo, cuando se trata de racionalizar un denominador, o en el caso de donde $ $(x + y) es el conjugado de $(x-y)$. ¿La versión de la teoría del grupo de conjugado tiene algun link para la versión de pre-cálculo (y otros usos)?

11voto

mkoeller Puntos 3101

C. Falcon respuesta se refiere a la teoría de Galois, que es casi seguro que históricamente la respuesta correcta. Pero la conexión entre dos ideas se puede explicar en poco más de primaria términos:

Si $G$ es un grupo que actúa sobre un conjunto $S$ y $s,t\in S$ se encuentran en la misma órbita, a continuación, los estabilizadores de $s$ y $t$ conjugado subgrupos de $G$. Específicamente, si $t = hs$, entonces $gs = s \iff (hgh^{-1})t = t$.

Ya que con frecuencia el estudio de los elementos del grupo en términos de sus puntos fijos, tiene sentido que la terminología de la conjugación de un grupo se mezclan a veces con la terminología de las órbitas.

Por ejemplo, podemos comprobar que $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ define una acción del grupo cíclico de orden $2$ en el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Entonces $a+b\sqrt{2}$ es conjugado a $a-b\sqrt{2}$ en el sentido de que se encuentran en la misma órbita el marco de esta acción.

Más generalmente, la teoría de Galois nos dice que si $p(X)$ es cualquier polinomio irreducible sobre un campo $k$, y $k\subconjunto K$ es una división de campo, luego hay un grupo que actúa en $K$ que corrige $k$ y actúa transitivamente sobre las raíces de $p$. En otras palabras, las raíces de p $$ son conjugadas.

Esto es un poco de un abuso de la terminología, pero no puede explicar el vínculo conceptual entre los dos usos diferentes de la palabra.

9voto

ghostwhistler Puntos 32

Sin duda el más fácil y la manera más intuitiva para entender la conjugación es a través de álgebra lineal.

$T : V \a V$ ser una transformación lineal del espacio vectorial $V$. Entonces se da una base de $\Bbb B = \{e_1, \cdots, e_n\}$ para $V$, uno puede representar a $T$ por una matriz $[T]_{\Bbb B} = [T(e_1), \cdots, T(e_n)]$, con cada $T(e_i)$ expresado en términos de $\Bbb B$. Es decir, las columnas de la matriz son las imágenes de cada elemento de la base $\Bbb B$ en virtud de la transformación.

Si $\Bbb B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ y $\Bbb B' = \{w_1, \cdots, w_n\}$ son dos bases de $V$, entonces podemos probar a ver qué pasa si empezamos con la base de $\Bbb B$ y, a continuación, cambiar a la base de $\Bbb B'$ expresando $v_i$ como combinación lineal $\sum_k a_{ki} w_i$ de elementos de $\Bbb B$. Del mismo modo, podemos tratar de expresar los elementos de $w_i$ de $\Bbb B'$ como combinaciones lineales de $\sum_k a_{ki}' v_i$ de elementos de $\Bbb B$.

La matriz $P = [a_{ki}]$ es llamado el basechange de la matriz obtenida de la base de cambio de $\Bbb B$ a $\Bbb B'$. Se puede verificar con facilidad que $['_{ki}]$ es simplemente $P^{-1}$.

El hecho relevante es de $[T]_{\Bbb B'} = P^{-1} [T]_{\Bbb B} P$. Por lo tanto, la conjugación de las matrices que corresponden a cambiar de base y clases conjugacy de las matrices $GL(V)$ corresponden a base libre de operadores lineales.


Esta descripción de conjugacy incluso puede ser visto en general de los grupos. $G$ ser arbitraria grupo que actúa sobre un conjunto $X$ por

$$G \veces X \X \\ (g, x) \mapsto gx$$

Si $g$ actúa en los elementos de $X$ por multiplicación, $hgh^{-1}$ hace el mismo trabajo de $g$, pero en $hx$ en vez de $x$, y luego se pone todo de vuelta en su lugar. Uno puede ver fácilmente esta dejando de $\text{Isom}(\Bbb R^3)$ en $\Bbb R^3$ por isometrías, dicen, y dejar que $g$ y $h$ a ser elementos de la isometría del grupo (por ejemplo, la rotación/traslación).

Por lo tanto, $hgh^{-1}$ no es realmente muy diferente de la de $g$, pero sólo lo hace en el trabajo de $g$ en $hx$ en vez de $x$. Esto es más general en el sentido de que dejar $G = GL(V)$ y $G$ es en el espacio vectorial $X = V$ me da vuelta el álgebra lineal de la imagen.


Para responder a la pregunta principal, a mi juicio, Galois conjugados no están realmente relacionados con conjuga como en grupos (que ya ha sido señalado por varias respuestas aquí). La verdadera motivación para la conjugación proviene de la teoría de Galois de una manera diferente.

Es decir, si $\text{Ga}(L/K)$ es el grupo de $K$-automorfismos de $L$, luego se da un intermedio de extensión $L/E/K$ (terminologías se explaned en C. Falcon respuesta), $\text{Ga}(L/E)$ es, naturalmente, un subgrupo de $\text{Ga}(L/K)$, $E$-automorfismos de $L$ son automáticamente $K$-automorfismos de $L$ (pointwise la fijación de algo más grande automáticamente pointwise corrige el subconjunto).

Ahora, si $L/E/K$ es una torre de Galois extensiones, entonces $\text{Ga}(L/E)$ es normal en $\text{Ga}(L/K)$. Aquí es donde la noción de conjugacy viene a jugar, porque Galois deseaba definir la estructura de grupo en la colección de todos los cosets.

Si $G$ es un grupo, $N \leq G$ es un subgrupo, es fácil ver donde conjugacy viene en el intento de definir la estructura de un grupo $G/N$. Si $g_1N, g_2N$ son dos elementos en $G/N$, entonces la manera más obvia para tratar de definir la estructura del grupo es como $(g_1 N)\cdot(g_2 N) = (g_1g_2)$ N. Esto puede hacerse bien definida si y sólo si $gNg^{-1} = $ N (en una dirección es fácil, por la otra dirección si $gN = g N$, recogida $h \in$ N. $hN = eN$ implica $(hN) \cdot (gN) = gN$, que es - como le dicen - el mismo que $(hN) \cdot (gN) = (hg)$ N. Por lo tanto $g^{-1}hg)N = N$ y $N$ es normal, como se desee)

Es interesante como un comentario que Galois se deduce que el cociente $\text{Ga}(L/K)/\text{Ga}(L/E)$ es, de hecho, isomorfo a $\text{Ga}(K/E)$, aunque eso es irrelevante aquí.

4voto

C. Falcon Puntos 2643

Según A. Jeanneret y D. las Líneas del libro de Invitación à l''algèbre el grupo surge de la conjugación de Galois de la teoría. Permítanme presentarles a los conceptos básicos.

Definición. Deje que $K$ ser un campo. Si $L$ es un campo y $\varphi:K\hookrightarrow L$ es un anillo homomorphism $(L,\varphi)$ se dice que es un campo de extensión de $K$ y uno escribe $L/K$.

Observación. Un anillo homomorphism $\varphi$ de un campo $K$ a un campo $L$ siempre es inyectiva. Efectivamente, supongamos que $x\in K$ tal que $\varphi(x)=0_L$ y supongamos por contradicción que $x\neq 0_K$, $x\in K^\times$. Desde un anillo homomorphism es unitario, se tiene que: $$1_L=\varphi(xx^{-1})=\varphi(x)\varphi(x)^{-1}=0_L,$ de$ una contradicción, ya que un campo no es nulo del anillo. Por lo tanto, $x=0_K$ y $\varphi$ es inyectiva.

Ejemplo. $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es un campo de extensión para la inclusión natural.

Definición. Deje que $L/K$ ser una extensión de campo, $M$ se dice que es un intermedio de campo si y sólo si $L/M$ y $M/K$ en el campo de las extensiones.

Ejemplo. $\mathbb{R}$ es un campo intermedio de $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$.

Propuesta De Definición. Deje que $L/K$ ser una extensión de campo y $M$ intermedio de campo. Si $\sigma\en\textrm{Aut}(L)$ (anillo isomorphisms de $L$ a $L$), $\sigma(M)$ es un campo intermedio llamado el conjugado de $M$.

Observación. El complejo de la conjugación es un anillo automorphism de $\mathbb{C}$. El campo de la conjugación definido anteriormente, es por lo tanto una generalización de la compleja conjugación.

Propuesta De Definición. Deje que $L/K$ ser una extensión de campo, $\textrm{Ga}(L/K):=\textrm{Aut}_{K}(L)$ (anillo isomorphisms de $L$ a $L$, cuyas restricciones a $K$ es la identidad) es un grupo para la composición llama la Galois' grupo de la extensión $L/K$.

Prueba. Vamos a mostrar que $\textrm{Ga}(L/K)$ es un subgrupo de $\textrm{Aut}(L)$.

  • $\textrm{id}_L\en\textrm{Ga}(L/K)$.

  • Deje que $\sigma\tau\en\textrm{Ga}(L/K),\sigma\circ\tau\en\textrm{Aut}(L)$. Deje que $x\in K$, se tiene que: $$\sigma\circ\tau(x)=\sigma(x)=x.$$ Por lo tanto, $\sigma\circ\tau\en\textrm{Ga}(L/K)$.

  • Deje que $\sigma\en\textrm{Ga}(L/K)$, $\sigma^{-1}\in\textrm{Aut}(L)$. Deje que $x\in K$, se tiene: $\sigma(x)=x$, de ahí que uno recibe: $$x=\sigma^{-1}(x).$$ $\sigma^{-1}\in\textrm{Ga}(L/K)$.

De ahí el resultado. $\Caja$

El vínculo con el grupo de la conjugación está contenida en el:

La proposición. Deje que $L/K$ ser una extensión de campo, $M$ ser un intermedio de campo y $\tau\en\textrm{Ga}(L/K)$, se tiene que: $$\textrm{Ga}(L/\tau(M))=\tau\textrm{Ga}(L/M)\tau^{-1}.$$

Prueba.

  • Deje que $\sigma\en\textrm{Ga}(L/K)$ y dejar $y\in\tau(M)$ existe $x\in M$ tal que $ $ y=\tau(x)$, se tiene que: $$\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}(y)=\tau\circ\sigma(x)=\tau(x)=y.$$ Por lo tanto, $\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}\in\textrm{Ga}(L/\tau(M))$ y uno tiene que: $$\tau\textrm{Ga}(L/K)\tau^{-1}\subseteq\textrm{Ga}(L/\tau(M)).$$

  • Deje que $\rho\en\textrm{Ga}(L/\tau(M))$ y vamos a definir $\sigma:=\tau^{-1}\circ\rho\circ\tau$. Deje que $x\in K$, se tiene que: $$\sigma(x)=\tau^{-1}\circ\rho\circ\tau(x)=\tau^{-1}\circ\tau(x)=x.$$ Por lo tanto, $\sigma\en\textrm{Ga}(L/M)$ y desde $\rho=\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}$, $\rho\en\tau\textrm{Ga}(L/M)\tau^{-1}$. Por lo tanto: $$\textrm{Ga}(L/\tau(M))\subseteq\tau\textrm{Ga}(L/K)\tau^{-1}.$$

De ahí el resultado. $\Caja$

Observación. En otras palabras, esta propuesta establece que la Galois grupo asociado con un conjugado de campo de $M$ es un grupo conjugado de la Galois grupo asociado con $M$.

3voto

kerchee Puntos 66

La noción de conjugacy primero fue desarrollado por Cauchy para la permutación de grupos. Para la permutación de grupos es muy sencillo de entender, y de hecho desde todos los grupos son isomorfos a algunos de permutación de grupo, usted puede tomar esto como una comprensión general.

Dicen que tengo $10$ de diferentes objetos, que estoy de intercambio acerca de. Puedo considerar dos permutaciones: uno en el que puedo intercambiar los dos primeros, y otra en la que puedo intercambiar los dos últimos. Pero estas permutaciones son en realidad la misma cosa, ¿no? Son la misma permutación, acaba de hacer en diferentes objetos, como puedo realizar la misma "acción" en ambos casos, si ves lo que quiero decir. Para un caso más complejo, imagino que si me tome la primera a cinco objetos y rotar sus posiciones, a continuación, intercambiar la primera y la quinta. Este es "el mismo", como si tomé los últimos cinco objetos y realiza la misma acción sobre ellos (el mero hecho de que usted es capaz de entender lo que quiero decir por "realizar la misma acción que en ellos" sin que tenga que explicar en detalle es prueba de ello).

Dos permutaciones son conjugadas si son "la misma permutación hecho a distintos objetos" en este sentido. ¿Cómo podemos hacer que esto sea más precisa? Veamos un ejemplo: las permutaciones $P = (1\ 2)$ y $Q = (3\ 4)$, en decir el conjunto de los números entre $1$ y $de$ 10. El segundo es de $P$, sino que se realiza a $3$ y $4$ en lugar de $1$ y $2$. Así que considere la permutación $S$ que envía $4$ 2 $$ y $3$ a $1$. Tenemos: $$P=S^{-1}QS$$ Lo primero de todo aplicar $S$ - esto es básicamente "cambiar el nombre de" los elementos de nuestro conjunto. A continuación, aplicamos $P$ y, a continuación, deshacer los $S$ a volver a nuestras originales "esquema de nomenclatura". Es cierto que un poco difícil de explicar por escrito, pero espero que con algunas ideas que usted debería ser capaz de ver que la existencia de una $S$ que $P=S^{-1}QS$ realmente captura la idea de que $P$ y $Q$ son "la misma cosa que hace a los diferentes objetos".

Por cierto, para finito de permutación de grupos cada permutación se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos, y conjugacy es equivalente a tener la misma "estructura" en el ciclo de descomposición. Definir exactamente lo que quiero decir por "estructura" es una de esas cosas que es difícil de explicar en palabras, pero fácil de ver con un ejemplo. Las permutaciones $(3\ 4)(5\ 6\ 8)$ y $(2\ 3)(1\ 4\ 9)$ son claramente "el mismo", sino que se realiza a diferentes objetos. El hecho de que ambos son el producto de un 2-ciclo y discontinuo 3-ciclo es suficiente para mostrar que se está conjugado.

2voto

Morgan Rodgers Puntos 3629

Conjugación generalmente se refiere a las asignaciones de la estructura algebraica llamada automorfismos. Estos son bijective a los mapas de preservar el funcionamiento de la estructura.

En $\mathbb{C}$ hay dos operaciones, la suma y la multiplicación. Un automorphism de $\mathbb{C}$, entonces es un bijection de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, que conserva una de estas opciones. Desde $\mathrm{i}$ y $-\mathrm{i}$ son ambas soluciones para $x^{2} +1 = 0$, se puede demostrar que el mapa de $a+b\rm{i} \mapsto a-b\rm{i}$ proporciona un automorphism de $\mathbb{C}$. Así que si usted tiene $z$ y $\bar{z}$ equivalente en este mapa, se llaman conjugados. Observe que si se multiplican dos complejos conjugados juntos obtendrá $(a + b\rm{i})(a-b\rm{i}) = a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}$, esto se refiere al caso en precálculo donde es racionalizar un denominador multiplicando $(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) \in \mathbb{Q}$; en este contexto, también hay una conexión a campo de automorfismos de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.

En un grupo $G$ hay una única operación. Un ejemplo común de un automorphism de un grupo es la conjugación de un elemento $g \in G$, este es un bijective mapa de $G \G$ dada por $x \mapsto g^{-1} x g$. Dos elementos $h_{1}, h_{2} \in G$ se llaman conjugados si existe alguna $g \in G$ que $h_{2} = g^{-1} h_{1} g$. (Tenga en cuenta que a veces hay otras automorfismos de un grupo que no son equivalentes a los de la conjugación por un elemento. Grupo de elementos que son equivalentes en virtud de estos otros tipos de automorfismos son generalmente no se llama conjugados).

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