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Seguimiento de la Norma propiedades

Deje $||A||_1=\operatorname{trace}(\sqrt{A^* A})$. Ya he demostrado que para arbitrario unitaria de las matrices de $U$ y $V$, $||UAV^*||_1=||A||_1$ y $||A||_1=\sigma_1+\dots+\sigma_k$. Ahora me gustaría probar ese $||A||_1$ define una matriz norma, $A\in M_{m\times n}\mathbb (C)$.

1) $||A||_1=0\Leftrightarrow A=0$. Ya he demostrado que.

2) $||\lambda A||_1=|\lambda|||A||_1$.Esto también.

3) $|\operatorname{trace}(A)|\leqslant ||A||_1|$. No estoy seguro, mi idea es usar el $A=U\Sigma V^*$.

4) $||BA||_1\leqslant ||B||||A||_1$$B\in M_{l\times m}\mathbb (C)$$||B||=\sup\frac{||Bx||}{||x||}=\max\{\sigma_1,\dots,\sigma_k\}$. Mi idea es nuevo el uso de la descomposición de valor singular para $A$ y una descomposición polar para $BA$.

5)$||A||_1=\sup_{||B||\leqslant 1}|\operatorname{trace}(BA)|$ $B\in M_{n\times m}\mathbb (C)$ $A\in M_{m\times n}\mathbb (C)$ Aquí tengo ni idea.

6) $||A+A'||_1\leqslant||A||_1+||A'||_1$ $A,A'\in M_{m\times n}\mathbb (C)$ Esto puede ser seguido de 5).

Si usted me podría ayudar con 3)-5), lo agradecería muchísimo.

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Guillaume Puntos 16

Aquí están algunos (edit: más) ideas: en Primer lugar, parece útil para restringir a sí mismo para matrices cuadradas por "cuadrar" Una como en esta referencia (p. 2 parte inferior de http://www.drhea.net/wp-content/uploads/2011/11/vonNeumann.pdf - sólo tiene que añadir ceros a $A$ a hacerla cuadrada que no afecta a la enfermedad vesicular porcina, excepto algunos diagonal queridos $U$ o $V$ y algunos ceros a $\Sigma$).

3) (creo que esto debe de todos modos sólo se mantiene si $A \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ es una matriz cuadrada.) En ese caso, creo que puedes probar esto por considerar $$\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(U\Sigma V^*) = \mathrm{tr}(\Sigma V^*U) = \sum_i(\Sigma e_i)\cdot(V^*U e_i) \le \sum_i \| \Sigma e_i \| \| V^*U e_i \|\\ \le \sum_i \sigma_i.$$ (Note $U,V,\Sigma$ son todos los de la plaza de ahora.)

5) en Primer lugar, supongamos von Neumann de la traza de la desigualdad ( http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%27s_trace_inequality ). Esta desigualdad, en particular, implica la $|\mathrm{tr}(BA)| \le \|B\| |\mathrm{tr}(A)|$. Por lo tanto, junto con 3), obtenemos $|\mathrm{tr}(BA)| \le \|B\| \|A\|_1$, es decir,\ $\sup_{\|B\|\le 1} |\mathrm{tr}(BA)| \le \|B\| \|A\|_1$. La otra dirección que sigue con la elección de $B=VU^*$ donde $U,V$ unitario son tales que $A=U\Sigma V^*$, es decir,$\sqrt{A^*A} = V \Sigma V^*$, debido a que, a continuación,$\mathrm{tr}(BA) = \mathrm{tr}(VU^* U\Sigma V^*) = \mathrm{tr}(V\Sigma V^*) = \|A\|_1$.

4) Ahora podemos deducir 4) de 5) y von Neumann de la traza de la desigualdad: $\|BA\|_1 = \sup_{\|C\|\le 1}|\mathrm{tr}(CBA)| \le \sup_{\|C\|\le 1}|\|B\|\mathrm{tr}(CA)| = |\|B\| \|A\|_1$

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