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Cuando se tiene una dominado suficientemente un área de matemáticas?

Este es un lugar suave pregunta sobre el dominio de diversos temas matemáticos, tales como asignaturas de pregrado.

En particular, por ejemplo, cuando tiene una dominado de pregrado análisis? Es realista esperar que algún individuo a ser capaz de probar todos y teorema de hacer todos los ejercicios en el Bebé Rudin? ¿Qué acerca de los análisis no están cubiertos en el Bebé Rudin? Decir, debería también ser capaz de demostrar que la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial, secuencial y compacidad es equivalente a cerrado y acotamiento en $\mathbb{R}^n$? Uno debería ser capaz de probar cada una de las principales declaración acerca de la integridad? La continuidad? La integración?

O es suficiente para ser capaz de leer y entender cualquier prueba en un área en particular?

Cuando uno puede sentirse satisfecho con lo que sabe acerca de un área particular de matemáticas básicas? Puede el matemático experimentado probar estos teoremas de corazón sin pensar mucho? Si esto es así, esto debido a la bruta de la memorización, o simplemente madurez en matemáticas?

En definitiva, ¿qué se debería esperar razonablemente de pregrado saber acerca de cualquier tema en particular después de completar un curso en dicho tema? Puedo preguntar específicamente acerca de pregrado de los sujetos, ya que estos son a menudo las áreas espera de ser dominado por el momento en que uno comienza la escuela de postgrado y de más allá. Esta pregunta se aplica a todas las áreas de la matemática, licenciatura y posgrado.

Interesado en escuchar las diferentes interpretaciones de las palabras suficientemente y dominado.

31voto

littleO Puntos 12894

Richard Feynman hizo algunos comentarios interesantes acerca de esto en el capítulo 14 del volumen 1 de la Feynman Lectures on Physics:

En el aprendizaje de cualquier materia, de carácter técnico, donde las matemáticas juegan un papel, uno se enfrenta con la tarea de comprender y almacenar lejos en la memoria de una gran cantidad de hechos e ideas, que se mantienen juntas por ciertas relaciones que pueden ser "probado" o "muestra" para existir entre ellos. Es fácil confundir la prueba en sí con el la relación que se establece. Claramente, la cosa importante aprender y recordar es la relación, no la prueba. En cualquier circunstancia particular podemos decir que "se puede demostrar que" tales y tal es la verdadera, o podemos mostrar. En casi todos los casos, la particular de la prueba que se utiliza es inventado, en primer lugar, en la forma que puede ser escrita de forma rápida y fácilmente en la pizarra o en de papel, y por lo que va a ser tan suave como sea posible. En consecuencia, la prueba puede parecer engañosamente simple, cuando en realidad, el autor podría haber funcionado durante horas tratando de diferentes maneras de el cálculo de la misma cosa hasta que ha encontrado el más bonito camino, así como ser capaz de demostrar que puede ser mostrado en la menor cantidad de tiempo! La cosa a recordar, al ver una prueba, no es el la prueba en sí, sino que se puede demostrar que tal y tal es verdadero. Por supuesto, si la prueba consiste en algunos de los procedimientos matemáticos o "trucos" que uno no ha visto antes, debe prestarse atención no para el truco exactamente, pero la idea matemática involucrada.

Es cierto que en todas las manifestaciones que se realizan en un curso como esta, no ha sido recordado desde el momento en que el autor estudió estudiante de primer año de la física. Muy por el contrario: él simplemente recuerda que tal y tal, es cierto, y para explicar cómo se puede demostrar que él inventa una manifestación en el momento que se necesita. Cualquier persona que realmente ha aprendí que un sujeto debe ser capaz de seguir un procedimiento similar, pero de nada sirve recordar las pruebas. Por eso, en este capítulo, se deberá evitar las pruebas de las distintas declaraciones efectuadas anteriormente, y simplemente resumir los resultados.

(La negrita es mía.) Creo que esta cita está abierta a la interpretación y el debate, pero sin duda interesante.

10voto

Steve Jessop Puntos 2490

Mi reino unido licenciatura fue evaluada únicamente en los "exámenes finales" al final de los 3 años (y de nuevo para el 4 de maestro del año). Así que por mi grado el principio de que, para un determinado par de semanas de un verano, es necesario ser capaz de demostrar en la gota de un sombrero de todos los teoremas en el plan de estudios en todos los temas examinados, y ser capaz de completar cualquier ejercicio similar a aquellos en los libros de texto. Otros grados se ejecutan en principios diferentes a lo que se requiere de usted por otros (como opuesto a lo que requieren de sí mismo).

De hecho, para ser estrictamente preciso, ya que se esperaba que yo elija alrededor de la mitad de las preguntas del examen para contestar, era posible abandono de algunas áreas y todavía han aprendido lo suficiente para un buen grado con honores. Para otros fines, sin embargo, "suficiente" sería diferente. Si usted sólo quiere completar su grado cómodamente, a continuación, sus necesidades son diferentes de si desea hacer una investigación en un campo, o si quieres enseñar a los estudiantes de pregrado.

Yo no hice un postgrado, pero creo que en el momento en que terminé mi licenciatura maestría estaba razonablemente bien preparado para uno. Yo podría demostrar los teoremas (a menos que se me olvidó la dirección de un detalle y le dio una errónea o incompleta de la prueba, que creo que es inevitable cuando se trabaja a la velocidad, pero los examinadores entender que y darle de casi todas las marcas de un casi-completa la prueba empañada por las limitaciones de tiempo). Yo podría resolver más de la mitad de los problemas en la oferta (el tiempo me pegué a ella, la mayor proporción pude resolver, no es como si yo completado cada conjunto de problemas perfectamente).

Superior del profesorado no saltan a junior de la facultad en el pasillo y la demanda que al instante entregar una completa primaria prueba de Stokes Teorema, pero cualquier facultad en un campo relevante sería lo suficientemente familiarizado con todas las técnicas que se utilizan para describir la forma de una prueba de inmediato y rellene los detalles que se dan el tiempo y papel. Si es mejor en una situación dada para un profesor para producir una prueba o buscar uno depende del contexto. Y de vez en cuando, los estudiantes de la demanda de cualquier los detalles del tema, y de personal docente que están en la parte superior del material puede entregar más a menudo que no. Si no, entonces ellos saben dónde buscar.

Si esto es así, esto debido a la bruta de la memorización, o simplemente madurez en matemáticas?

Definitivamente la madurez. La memorización de una prueba de línea por línea es casi inútil, excepto tal vez como un relativamente ineficiente de los medios de pasar un examen. La mayoría de pregrado pruebas contienen un pequeño número de los puntos cruciales que uno memoriza (o en realidad yo diría que "aprende" -- memorizar podría sugerir sólo la reproducción de una cadena de letras en la página, y que no es la mejor manera de recordarlo). Aprender de ellos junto a la declaración del teorema de sí mismo. El resto de la prueba es sólo la limpieza, y con experiencia es bastante fácil para llenar en cada momento. Así que para un fácil ejemplo, usted podría aprender de una escuela primaria prueba de Lagrange del Teorema de la teoría de grupos como "cosets la partición del grupo". Una vez que esa frase le permite escribir completa la prueba del teorema, hay un sentido en el que he aprendido que una prueba. Así que, como en el primer año de pregrado yo iba a escribir ese teorema, anote el gadget que yo sabía que iba a probar (es decir, definir la izquierda cosets del subgrupo en el grupo), y el resto de la prueba es coger los sobrevivientes.

Como anécdota, un amigo que estaba haciendo su Doctorado, mientras que yo era un estudiante, escribió toda su licenciatura de revisión de notas en un A1 de la hoja de papel y pegado en su pared. Así que incluso si hubiera rote memorizado las notas (y no estoy seguro de que incluso eso es cierto), que es de 8 lados de la A4, que cubre dos años de estudio a tiempo completo. Él siempre dijo que su memoria era realmente malo, y por lo tanto lo que él necesitaba sin memorizar nada. Conocer el material fue suficiente.

En un nivel de licenciatura, creo que si una prueba requiere más de 2 o 3 ingeniosos gadgets de su propio, entonces algo ha ido mal, que usted puede tratar como estás estudiando el material. Debe haber algún lema que usted puede aprender como un teorema en sí mismo, con su propia prueba, y luego aprender a mostrar que el teorema es una consecuencia del lema. La razón de esto es que los teoremas en un plan de estudios de pregrado son viejos y bien estudiados, las muestras que se ven han sido pulidos, y el más valioso de los resultados intermedios en la prueba han sido identificados y separados. Quien demostró el teorema de la primera podría haber tenido una muy diferente de la prueba, o podría haber tenido "esencialmente la misma prueba" en terminología diferente y a través de un camino sin señales, pero desde entonces la civilización ha llegado.

En cualquier caso, creo que a menos que usted está planeando salir después de su licenciatura (y tal vez ni siquiera entonces), que en realidad no tiene sentido preocuparse por si se le ha "dominado" análisis de pregrado. La línea entre el pregrado de análisis y su posterior análisis es bastante arbitrario, y nunca es el objetivo de un profesional matemático para comprender completamente un tema hasta cierto nivel, pero saben que, básicamente, nada más allá de eso. Así que si van, entonces usted ha "dominado" pregrado análisis cuando usted tiene una buena comprensión de "posgrado" análisis, que todos los de pregrado de análisis se convierte en información básica de los antecedentes de su "conocimiento real". Aquí es donde el proceso de re-visitar y re-aprendizaje se produce, que otros describen. Excepto tal vez para los individuos excepcionales, una estudiante universitaria, no de "maestro" de cualquier tema de pregrado a este nivel. Los solicitantes de los programas de posgrado se espera que sea capaz de hacer de licenciatura en matemáticas y hacerlo bien, pero el dominio es otro asunto.

Ciertamente no significa que usted siempre puede completar todos los ejercicios en el libro: la he visto muy talentosos y experimentados matemáticos, cuyo trabajo de investigación y de enseñanza demuestra que no ha "dominado" de la escuela primaria partes de un campo sensible definición, ser confundido por un pregrado problema que no hay duda visto y resuelto antes, porque lo que le suceda a pasar por alto el enfoque correcto. Otro día que había resolver al instante.

[Llegado a pensar si, sospecho que podría haber visto completo Profesores de la Universidad de Oxford brevemente perplejo por los problemas que se colocan a sí mismos de la semana anterior. Ningún incidente en particular viene a la mente, pero es el tipo de cosa que puede suceder en el cuarto año de clases. La maestría es sólo tan bueno como el día que está teniendo...]

9voto

Alfred Yerger Puntos 2168

Me gustaría lanzar algunas palabras a su alrededor, como un título de mí mismo. Realmente no tengo una respuesta de por sí, pero tengo algunos pensamientos sobre la cuestión basada en mis experiencias y la comprensión de tan lejos.

Creo que es un tipo de pregunta que uno se hace a sí mismo, y la respuesta de usted. No hay un estándar exacto. Espero que en las matemáticas, no importa lo lejos que vaya, siempre se aprenden cosas nuevas, incluso en el más elemental sentido. Por ejemplo, yo considero, que han dominado de una sola variable de cálculo. Yo tutor de este tema, y trabajar con, probablemente, de 30 a 40 estudiantes por semestre, en línea y en persona, ayudando a resolver problemas, demostrar los teoremas, explique la intuición etc. Estas son algunas de las métricas que yo personalmente uso para sentir confianza en mi afirmación de que he dominado el tema.

Por otro lado, no puedo solucionar el problema que puede plantear el uso de sólo una sola variable de cálculo. Parte de esto es madurez en matemáticas. Parte de ello es una falta de ingenio. A veces las soluciones acaba de ir por encima de mi cabeza. Es común que una sola variable cálculo textos para contener los problemas que son de hecho muy difícil. El texto común por Stewart contiene referencias a concurso a nivel de problemas, de los cuales probablemente yo podría resolver muy pocos en una manera oportuna, o sin ayuda.

Hay algunas distinciones entre mi capacidad y la de mis alumnos que yo diría que son buenos indicadores de la maestría a pesar de que muchos de los estudiantes que trabajan con ser capaces de hacer al final del semestre o del año.

En primer lugar, yo diría que es rápido de computación. Obviamente, si usted realmente entender el material, se puede conectar a dar vueltas con facilidad.

La segunda, es la fluidez con la técnica de puntos. Usted debe saber los detalles de las definiciones, y se sienten cómodos con la maquinaria real de los sujetos a decir que realmente tienen un férreo control sobre ella.

En tercer lugar, la intuición y el concepto de las relaciones. Para muchos de mis estudiantes en el cálculo, esto es en realidad la parte más difícil. Se puede calcular, y el estado de las definiciones y algunos de ellos pueden demostrar teoremas sin mucha dificultad, pero que no me explique lo que está pasando en el problema. Hacer imágenes es importante. Intenta hacer una web de los principales teoremas y las ideas en un tema. Igual que cuando se trabaja a través de una prueba, usted se pregunta donde las hipótesis son, cuales son los pasos, lo que los lemas son necesarios, etc, a la hora de reflexionar sobre su capacidad con un tema, usted debe preguntarse cómo las grandes ideas encajan juntos. ¿Qué papel el más grande de los teoremas de jugar, y cómo están conectados?

Por supuesto, todo esto es muy subjetivo, y sólo mis dos centavos. Me atrevería a decir que no hay muchas áreas de las matemáticas, yo diría que he aprendido, incluso como voy en mi ultimo año. La matemática es un lugar muy grande, y tan olvidadizo como yo pierdo la noción de las definiciones y teoremas todo el tiempo (el que hace los exámenes, especialmente estandarizado, absolutamente terrible), pero no es acerca de mi capacidad para recordar el significado de las palabras que va a hacer o romper mi carrera. Es mi capacidad para resolver los problemas! Puede aplicar los teoremas útiles en los lugares correctos? Puede usted venir con interesantes trucos para hacer que el trabajo de el problema? En mi mente, esto es, tanto la maestría como cualquiera de las otras ideas que se me tiró a su alrededor.

Espero que esto arroja un poco de luz.

2voto

Count Iblis Puntos 2083

Si usted está seguro de que puede encerrarse en una habitación con sólo papel y lápiz y, a continuación, reproducir la materia (por ejemplo, en forma de notas de la conferencia para los estudiantes) en una cantidad de tiempo razonable.

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