12 votos

¿Qué significa exactamente la conformación del grupo de espacio de Minkowski?

Esta es una pregunta tonta porque soy un total principiante, y yo debatiendo si era mejor preguntar aquí o en Matemáticas.SE. Me decidí por aquí porque se trata de cómo los físicos utilizan la terminología, aunque la terminología es intrínsecamente matemáticos y no hay realmente ninguna físico contenido en la pregunta.

Es un hecho bien conocido en la física teórica de que la conformación del grupo de espacio de Minkowski es $\operatorname{SO}(4,2)$ (o, a veces, su doble cubierta $\operatorname{SU}(2,2)$ es elegido en su lugar). Este es infinitesimalmente generados por el modelo de Poincaré generadores $M_{\mu \nu}$ $P_\mu$ junto con la escala de transformación de $D$ y la especial conformación de los generadores $K_\mu$. También he visto conformación de grupos discutido por otros colectores (el caso que me llevan a esta pregunta es Witten de 2003 del papel Perturbativa de Gauge de la Teoría Como Una Teoría de cuerdas En Twistor Espacio, que incluye la conformación del grupo de $\mathbb{R}^4$ con todas las firmas.)

Sin embargo, lo anterior no parecen estar de acuerdo con la definición del término "conformación del grupo", lo que yo sé de la mínima cantidad de conformación de la geometría sé. Específicamente, la conformación de grupo de un pseudo-Riemann colector $M$ es el grupo de la conformación de auto-mapas en $M$, es decir, la auto-diffeomorphisms para que el pullback métrica es conformemente equivalente a la original métrica. (Dos métricas $g$, $h$ son conformemente equivalentes si existe un real positivo función con valores de $u$ de manera tal que en cada punto de $x \in M$ tenemos $g_{x, \mu \nu}=u(x)h_{x, \mu \nu}$.)

El problema es que la conformación del grupo de espacio de Minkowski no $\operatorname{SO}(4,2)$ con la definición anterior. La especial conformación de las transformaciones, dado por la expresión (para algunos vector $b_\mu$) $$ x' ^\mu = \frac{x^\mu - x^2 b^\mu}{1-2b \cdot x +b^2 x^2}$$ aren't self-maps of Minkowski space at all. The denominator can become 0 (while the numerator remains finite), and at that particular $x^\mu$ the transformation given by $b^\mu$ is undefined. For an example, take $x=(1,0,0,0)$ and $b=(0,1,0,0)$. So in fact the special conformal transformations are only maps from a subset of Minkowski space back to the full Minkowski space, and shouldn't be included as part of the conformal group if we take the above definition. It's difficult to tell from this formula, but from the fact that $$ \frac{x'^\mu}{x'^2} = \frac{x^\mu}{x^2} - b^\mu$$ se puede decir que la transformación inversa es dado por $-b^\mu$, otro especial de conformación, transformación, lo que significa que estos mapas no son surjective.

Estos problemas se derivan del hecho de que la conformación del grupo es normalmente deriva en física por considerar el álgebra de campos vectoriales (que nosotros consideramos como la infinitesimal transformaciones de coordenadas) que satisfacen la conformación de la Matanza de la ecuación. No hay en general ninguna razón para esperar que la correspondiente finito de transformación para ser buen comportamiento de distancia desde el origen.

Cómo, exactamente, son de conformación de los grupos definidos en la física para arbitrario (en particular noncompact) pseudo-Riemannnian colectores de manera que obtenemos el resultado esperado para el espacio de Minkowski?

Para ser perfectamente claro, no quiero respuestas de la forma "encontrar la Mentira de álgebra, entonces exponentiate todo". Sé que esto funciona, pero quiero una definición para la conformación del grupo como un grupo, sin hacer referencia a álgebras. En mi opinión, no debería ser una forma de definirlo de esta manera, y parece un poco importante para mí, ya que a priori no veo ninguna razón por la que el grupo de conformación de auto-mapas de un colector debe ser de un (posiblemente infinito-dimensional) se encuentran en grupo. Hay probablemente algunos de alta potencia de teoremas (tal vez en la PDE), que implicaría esta trivialidad, pero, naturalmente, necesitamos saber un grupo real de la estructura a ser capaz de aplicarlos. En el caso de la conformación del grupo, como he definido más arriba (de modo que se excluyen de conformación de las transformaciones) creo que sé una manera de probar esto para el "matemático" de la definición, pero cuando comenzamos a lanzar en los mapas que no están en todas partes se define el enfoque que se me ocurrió la falla. Por lo tanto, incluso si esta es la forma en la mayoría de los físicos definiría, estoy buscando una alternativa global de definición para obtener algunos de los mejores intuición geométrica que produce las respuestas correctas.


Algunas ideas sobre este (siéntase libre de ignorar, especialmente si estoy en el camino equivocado):

A mí me parece posible para remediar esta en bastante forma trivial. Podemos considerar que todos los inyectiva conformación de mapas de densa abrir conjuntos de espacio de Minkowski (posiblemente distinta) denso abrir conjuntos de espacio de Minkowski. También tenemos que definir composiciones ser restringido para el subconjunto del espacio de Minkowski en el que están definidas. Por otra parte, nos imponen una relación de equivalencia que dos mapas que restringen el mismo mapa en la intersección de sus dominios son iguales. Usando estas definiciones, podemos obtener al menos un grupo que contiene todos los de la conformación de las transformaciones de lo que debería. También contiene algunas otras menos deseables tipo de transformaciones (por ejemplo, tomar dos rotaciones y únelos en el interior y exterior, respectivamente, de $\mathbb{R} \times S^2$; por cierto, esta es, esencialmente, ¿por qué la prueba de que he potencialmente podría fallar por el "físico" de conformación de grupos), pero imponiendo algunas condiciones en el comportamiento de los mapas en un barrio de la frontera de la región en la que están definidos debe ser posible volver a recuperar el ordinario de conformación de grupo. (No he comprobado esto, ni sé exactamente qué condiciones se deben aplicar, a pesar de que pude averiguar en el caso del espacio de Minkowski, basado en un modelo alternativo a continuación para la conformación del grupo.)

Ese enfoque, aunque es fácil de justificar basado en nuestros supuestos anteriores, no es muy intuitiva. Se requiere una gran cantidad de trabajo técnico para conseguir que todo funcione correctamente. Estamos implícitamente usando el hecho de que las intersecciones finitas de densa abrir los conjuntos densos y abiertos. Las condiciones necesarias como las funciones que se aproxime al límite de sus dominios para conseguir que todo funcione no son también evidentes. Lo que es más importante, la cosa parece estar sugiriendo un enfoque alternativo, que es mucho más geométrica; que debemos ver en espacio de Minkowski como contenido en algunas ligeramente mayor espacio en el cual la conformación del grupo de los actos más bien, donde podemos ver el complemento de espacio de Minkowski como puntos en $\infty$.

Específicamente (y en este momento sólo estoy haciendo conjeturas, porque parecen útiles) para cualquier pseudo-Riemann colector $M$, debe haber algún espacio único $\bar M$ que tiene las propiedades que $M \subset \bar M$ es densa (esto se basa en las observaciones anteriores, y podría no ser necesario o deseable en el caso general; sin embargo, parece razonable), la restricción de la métrica en la $\bar M$ $M$produce un conformemente equivalente métrico con la métrica estándar en $M$, y de tal manera que todos la conformación de auto-mapas de $M$, lo que "debe existir" puede ser legítimamente interpretarse como la conformación de auto-mapas de $\bar M$. No sé de que esta realidad implica un $\bar M$ es compacto, pero sin duda si $M$ es compacto, entonces el tipo de problemas que nos encontramos para el espacio de Minkowski no puede suceder. Podemos entonces simplemente definir la conformación del grupo de arbitrario colector $M$ a la conformación del grupo, en las "matemáticas" definición", de $\bar M$. Una construcción de $\bar M$ lo que sería perfectamente razonable respuesta a esta pregunta, aunque en este momento todavía no estoy seguro de que cualquier espacio de $\bar M$ necesita existir en general. Brevemente he intentado hacerlo yo mismo, pero yo no era capaz de llegar con algo lo suficientemente general como para ser satisfactoria, ni fui capaz de demostrar que, en los pocos casos que conozco de esta construcción son únicos.

Sé que este enfoque funciona para el espacio de Minkowski en algún sentido. En concreto, se puede completar el espacio de Minkowski, en este sentido, a través de su inclusión en la proyectiva cono de luz (es decir, el espacio de todos null líneas a través de la de origen) en 6 dimensiones espacio Euclidiano con $(4,2)$ firma. El particular, la inclusión es bien conocido y no es tan importante para mis propósitos. Sin embargo, esto no generalizar especialmente bien cuando se presenta de esta manera. La razón de por qué funciona, al menos intuitivamente, para mí, es que $\operatorname{SO}(4,2)$ natural actúa sobre este espacio, que a mí me parece una gran coincidencia que no se puede esperar para continuar el trabajo de si consideramos arbitraria de espacios. He considerado el uso de diagramas de Penrose para tratar de hacer el equivalente de la construcción para todos los casos que me importa, pero estos sólo funcionan para asintóticamente plana espacios como yo sé y que echa de menos algunos casos de interés para mí (por ejemplo, Anuncios), además de una construcción en general sería mucho más satisfactorio.

Yo también consideró la posibilidad de que los físicos pueden estar usando el término de forma incoherente fuera del contexto del espacio de Minkowski. Es decir, no puede ser un número de construcciones de la "conformación de grupos", que dan el mismo $\operatorname{SO}(4,2)$ en el espacio de Minkowski. Que en realidad sería más interesante para mis propósitos, si es verdad.

6voto

joshphysics Puntos 34367

Puño, permítanme decir que este libro responderá a (casi) todas sus preguntas con hermosas precisión y maravilloso detalle; yo altamente recomiendo que lea el capítulo sobre la conformación del grupo de la que estoy robando la siguiente información.

Permítanme repetir que una de las definiciones que responde directamente a su pregunta en el caso de la pseudo-Euclídea colectores $\mathbb R^{p,q}$;

Definición. La conformación del grupo de $\mathrm{Conf}(\mathbb R^{p,q})$ es el componente que contiene la identidad del grupo de conformación diffeomorphisms de la conformación compactification de $\mathbb R^{p,q}$.

Con esta definición, se puede mostrar que para $p+q>2$, el grupo de $\mathrm{Conf}(\mathbb R^{p,q})$ es isomorfo a $\mathrm{SO}(p+1, q+1)$ o $\mathrm{O}(p+1, q+1)/\{\pm 1\}$ si $-1$ es en el componente conectado de $\mathrm O(p+1, q+1)$ contiene $1$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: