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Es de Banach-Alaoglu equivalente a CA?

El Banach-Alaoglu teorema es bien conocido. Se establece que la bola unidad cerrada en el espacio dual de una normativa espacio es de $\text{wk}^*$-compacto. La prueba se basa en gran medida en el teorema de Tychonoff.

Como recientemente he descubierto gracias a las buenas chicos en el chat de pertenecer a este sitio web es que el teorema de Tychonoff es equivalente al Axioma de Elección.

Podemos probar Tychonoff (o algo equivalente) de Alaoglu?

28voto

Grzenio Puntos 16802

Decidí esquema de la prueba de la equivalencia de algunos de los resultados mencionados en las otras respuestas, ya que es muy fácil.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes en ZF:

  1. De Banach–Alaoglu: Si $X$ es una normativa de espacio, a continuación, la unidad de la bola en $X^\ast$ es débil$^\ast$-compacto.
  2. El ultrafilter lema: Cada filtro está contenida en un ultrafilter.
  3. Tikhonov para espacios de Hausdorff: Un producto arbitrario de compacto de Hausdorff espacios es compacto.
  4. Tikhonov para la unidad de intervalo: cualquier producto de copias de $[0,1]$ es compacto.

Observación. Es un teorema de Halpern–Levy, El Booleano primer ideal teorema no implica el axioma de elección, la Teoría de conjuntos Axiomática Parte 1, Proc. Symp. Pura Matemática. Vol. 13 (1971), 83-134, que estas sentencias equivalentes son estrictamente más débil que el axioma de elección. Véase también Jech del libro El Axioma de Elección, en el capítulo 7.

Las implicaciones 2. $\Rightarrow$ 3. y 4. $\Rightarrow$ 1. son estándar (el primero se obtiene mediante la inspección de la prueba usual de la del teorema de Tikhonov, mientras que el otro es uno de los habituales de las pruebas de la Banach-Alaoglu teorema, como explica M. Turgeon aquí) y 3. $\Rightarrow$ 4. es trivial.

Queda por demostrar que el Banach–Alaoglu teorema implica la ultrafilter lema.

  1. Recordemos que una de ultrafilter en un conjunto $S$ es la misma cosa como $\{0,1\}$con valores de finitely aditivo medida de probabilidad definida sobre todo el juego de poder $P(S)$: Por un ultrafilter $\mathfrak{U}$ y $\subconjunto S$ de $$ \mu_{\mathfrak{U}}(A) = \begin{casos} 1, & \text{si } \in \mathfrak{U}, \\ 0, & \text{en caso contrario} \end{casos} $$ para obtener una finitely aditivo medida $\mu_\mathfrak{U}$. Por el contrario, dado un finitely aditivo $\{0,1\}$con valores de probabilidad de la medida $\mu$, definir $\mathfrak{U}_\mu = \{A \subconjunto S\,:\,\mu(A) = 1\}$, entonces el que se excluyen mutuamente posibilidades que $A \in \mathfrak{U}_\mu$ o $S \smallsetminus Un \en\mathfrak{U}_\mu$ implica que $\mathfrak{U}_\mu$ es un ultrafilter.

  2. Observar que $\operatorname{ba}(S) = \ell^{\infty}(S)^\ast$ es el mismo que el espacio de Banach de limitados (y firmado) finitely aditivo medidas en $P(S)$ con el total de la variación de la norma. La identificación es sencilla: desde $P(S) = \{0,1\}^S \subconjunto \ell^{\infty}(S)$, cada delimitada lineal funcional en $\ell^{\infty}(S)$ da una finitely aditivo medida. Para la dirección inversa, utilice el hecho de que el $\mathbb{Q}$-lineal lapso de $P(S)$ es la norma-denso en $\ell^{\infty}(S) de dólares. La identificación de la norma de la siguiente manera por inspección directa de las definiciones.

  3. Deje que $B$ a ser la unidad de la bola de $\operatorname{ba}(S)$, equipado con los débiles$^\ast$-topología, por lo que es compacto por Banach-Alaoglu. El "subconjunto de ultrafilters" $$ U = \{\mu \in B\,:\,\mu(A)\in\{0,1\} \text{ para todo } \subsetneqq S\text{ y }\mu(S) = 1\} \subconjunto B $$ es débil$^\ast$-cerrado y tenemos un mapa de $\delta: S \a U$ envío $s \in S$ a la correspondiente medida de Dirac (= capital de ultrafilter).

    Dado un filtro de $\mathfrak{F}$ en $S$, la colección de $\mathcal{F} = \left\{\overline{\delta(F)}\right\}_{F \in \mathfrak{F}}$ de subconjuntos cerrados de $U$ ha la intersección finita de la propiedad, por la compacidad de $U$ la intersección de $\bigcap \mathcal{F}$ es no vacío. Deje que $\mu$ ser un elemento de esa intersección. Note que $\mu$ es $\{0,1\}$con valores y $\mu(F) = 1$ para todo $F \in \mathfrak{F}$, así que hemos terminado, porque el ultrafilter $\mathfrak{U}_\mu$ de $\mathfrak{F}$.

Observación: tenga en cuenta que la idea es, implícitamente, el trabajo con la Piedra–Čech compactification $\beta$ S mediante la identificación con los débiles$^\ast$-cierre de $U$ de $\delta(S) \subconjunto \operatorname{ba}(S) de dólares a través del Gel'fand isomorfismo $C(\beta = \ell^\infty(S)$, pero ponerlo de esta manera, de nuevo, requiere apoyarse en un equivalente de la ultrafilter lema.


En la segunda Asaf la recomendación de leer el breve artículo por Bell y Fremlin, Una Forma Geométrica de el Axioma de Elección, Fondo. De matemáticas. vol. 77 (1972), 167-170, mostrando diversas implicaciones entre funcional de la analítica de los principios y de elección. Especialmente el hecho de que el axioma de elección se sigue de la existencia de un punto extremo en la unidad de la bola de un doble espacio de Banach es un hermoso observación en la geometría de espacios de Banach.

Sería tentador poner el resultado de Campana y Fremlin como "de Hahn–Banach y Kreĭn–Mil man, implica el axioma de elección" (como a veces se puede leer), sin embargo, la situación es un poco más sutil que eso. Más detalles en Bell–Fremlin y un poco más al final de esta respuesta.


Permítanme añadir un par de puntos a Asaf la respuesta:

El teorema de Tikhonov implica la de Hahn–Banach teorema por un argumento de Łoś–Ryll-Nardzewski, En la aplicación de el teorema de Tychonoff en pruebas matemáticas, Studia Matemáticas. 38 (1951), 233-237.

La idea es esta: Vamos a $U$ ser un subespacio del espacio vectorial $V$ y dejar que $f: U \to \mathbb{R}$ funcional dominado por un sublinear funcional $p: V \a [0,\infty)$. Si queremos extender $f$ $v \V \smallsetminus U$ entonces sólo podemos elegir $\tilde{f}(v) \in [-p(-v) p(v)]$ si queremos que la extensión de $\tilde{f}$ a ser dominado por $p$. Para cada subconjunto finito de $V \smallsetminus U$ podemos elegir de un número finito de producto compacto intervalos además de que tenemos la linealidad de las restricciones a cumplir — lo que equivale a decir que la búsqueda de un Hahn–Banach extensión es la misma como la búsqueda de un elemento en una gigantesca proyectiva límite de espacios compactos. Que este proyectiva límite no está vacía de la siguiente manera a partir del teorema de Tikhonov. Más detalles en la sección 5 de la loc. cit.

Una prueba directa de la de Hahn–Banach teorema de la ultrafilter lema, utilizando el lenguaje de la no-estándar de análisis, fue dado por Luxemburgo en Dos aplicaciones del método de construcción por ultrapowers para el análisis, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 68 (1962), 416-419, véase también su artículo Redujo los poderes de la real sistema de número y equivalentes de Hahn - Banach extensión del teorema, Appl. Modelo De La Teoría De Álgebra, Anal., El Probab., Proc. Int. Sympos. Calif. Inst. Technol. 1967, 123-137 (1969) ZBlatt revisión.

En este último artículo Luxemburgo demuestra, entre otras muchas cosas que de Hahn–Banach es equivalente a la afirmación de que la unidad de la bola en el dual de una normativa espacio es convexo compacto: cada cubierta abierta y convexo conjuntos tiene un número finito de subcover.

Este y varios otros hechos parecen indicar que Hahn–Banach podría implicar Banach-Alaoglu (o el ultrafilter lexema) — al menos ese es el sentimiento expresado por Luxemburgo y otros en varios lugares.

Sin embargo, sorprendentemente, este resulta ser incorrecta: D. Pincus, La fuerza de la de Hahn-Banach teorema, Notas de la Conferencia en Matemáticas Volumen 369 (1974), 203-248 construye un modelo en el que Hahn-Banach tiene, pero tanto el ultrafilter lema y Kreĭn–man, Mil fallar, por lo que son, de hecho, independiente de ZF+HB. En el mismo papel Pincus, además se estableció que el axioma de elección es independiente de Hahn–Banach y Kreĭn–Mil man (al menos en ZFA). Véase también el anuncio de la Independencia de el primer ideal teorema de la Hahn teorema de Banach, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 78 (1972), 766-770.

14voto

Michael Greinecker Puntos 19016

El Banach-Alaoglu principio es equivalente a, entre otros, los siguientes teoremas: el Ultrafilter Lema, el Booleano primer ideal teorema, a tiro de Piedra de la representación teorema, el teorema de Tychonoff compacto Hausdorff espacios, el teorema de completitud de primer orden de la lógica de$\ldots$

Las pruebas de la equivalencia de estos, y más, teoremas se pueden encontrar en el "Manual de Análisis y de Sus Fundamentos" de Eric Schechter. Todos estos resultados tienen una extremadamente no-constructiva sabor.

Edit: he quitado una referencia a un papel tratando de demostrar que la Banach-Alaoglu teorema es equivalente al teorema de Tychonoff compacto Hausdorff espacios, puesto que t.b. planteó algunas preocupaciones legítimas acerca de la prueba. La equivalencia es, sin embargo, correcta.

11voto

Matt Dawdy Puntos 5479

No. El pacto establece cuyo producto desea ser compacto en Banach-Alaoglu también Hausdorff. La declaración de que un producto compacto Hausdorff espacios es compacto (Hausdorff) es equivalente a la de ultrafilter lema, el cual es conocido por ser estrictamente más débil que el axioma de elección.

6voto

DanV Puntos 281

Para agregar en las respuestas anteriores, Campana y Fremlin demostrado en [1] que un poco más débil de la versión de Alaoglu del teorema es equivalente a la de Hahn-Banach, y que junto con una versión modificada de la Krein-Milman teorema (SKM) se aplica el axioma de elección en su totalidad.

Cabe destacar dos cosas interesantes en este:

  1. De Hahn-Banach es estrictamente más débil que el Booleano Primer Ideal teorema (mencionado por Qiaochu y Michael).
  2. El Booleano Primer Ideal teorema con el ordinario de Krein-Milman teorema implica el axioma de elección en su totalidad.

Así que hay una especie de punto de inflexión de aquí, se puede debilitar ligeramente de Banach-Alaoglu o ligeramente debilitar SKM.


Bibliografía:

  1. J. Bell y D. Fremlin, Una Forma Geométrica del Axioma de Elección. Fondo. De matemáticas. vol. 77, 1972. (El oficial de escaneo de la página del diario aquí y el resumen de la página de el polaco Biblioteca Virtual)

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