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La intuición en el teorema fundamental de la aritmética

Lo siento por delante si el tiempo si este es demasiado trivial para este sitio.

Actualmente en la escuela, mucho de lo que me gusta es la teoría de los números. En la actualidad, me apoyo bastante en gran medida en el acuerdo de libre comercio para una buena parte de mi entendimiento y de las pruebas. Dicho esto, recientemente me he dado cuenta de que mi intuición detrás de un TLC es un poco escaso. Puedo demostrar el teorema de muchas maneras, pero todavía tienen problemas para "ver" o "visualizar" la singularidad de la FTA. Esto es en gran parte porque yo uso el acuerdo de libre comercio de entender las ideas detrás de las pruebas utilizadas en la singularidad parte de la prueba de FTA en sí. Es decir, tengo un mal caso de razonamiento circular. Por ejemplo, una típica forma de mostrar la singularidad se basa en el hecho de que, si $p$ es primo, $p \mid ab \implica p \mid$ o $p \mid b$, pero yo uso el TLC para comprender esta idea.

Lo que estoy buscando es alguna intuición detrás de la singularidad de la FTA, para que yo pueda ser capaz de entenderlo en un muy nivel intuitivo. Sólo estoy apelando a los más sabios, que se puede entender esto a través y a través y puede ser capaz de ofrecer algo de información valiosa en su manera de ver la idea.

Gracias de antemano para todos los que se tomaron el tiempo para leer esto y/o ofrecer información

-escrito con el ipad, lo siento por los errores tipográficos

19voto

Math Gems Puntos 14842

Hay muchas propiedades que son equivalentes a la unicidad de la factorización en $\,\Bbb Z.\:$ el Siguiente es un ejemplo de la parte superior de mi cabeza (por no decir total). Cada uno proporciona una perspectiva ligeramente diferente sobre el por qué de la singularidad - tiene perspectivas que se vuelve más claro cuando uno ve cómo estas propiedades equivalentes se bifurcan en más general integral de los dominios. A continuación utilizamos la notación $\rm\:(a,b)=1\:$ significa que $\rm\:a,b\:$ son coprime, es decir, $\rm\:c\mediados de los a,b\:\Rightarrow\:c\mid 1.$

$\rm(1)\ \ \ gcd(a,b)\:$ existe para todo $\rm\:a,b\ne 0\ \ $ [MCD de dominio]

$\rm(2)\ \ \ una\mediados de AC\:\Rightarrow a=bc,\ b\a mediados de B\ c\mediados de C\ \ \, $ [Schreier refinamiento, Euler número cuatro teorema]

$\rm(3)\ \ \ una\,\Bbb Z + b\, \Bbb Z\, = \ c\,\Bbb Z,\:$ $\rm\,c\quad\ $ [Bezout de dominio]

$\rm(4)\ \ \ (a,b)=1,\ a\a mediados de ac\:\Rightarrow\:\mid c\qquad\ \ $ [Euclides del Lema]

$\rm(5)\ \ \ (a,b)=1,\ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\:\Rightarrow\: b\mediados de la d\quad\ \ $ [Únicas Fractionization]

$\rm(6)\ \ \ (a,b)=1,\, b\a mediados de c\:\Rightarrow\: ab\mediados de c$

$\rm(7)\ \ \ (a,b)=1\:\Rightarrow\:\,\Bbb Z\cap b\,\Bbb Z\, = \ ab\,\Bbb Z $

$\rm(8)\ \ \ gcd(a,b)\ \ exists\:\Rightarrow\: lcm(a,b)\ \ exists$

$\rm(9)\ \ \ (a,b)=1=(a,c)\:\Rightarrow\: (a,bc)= 1$

$\rm(10)\ $ átomos $\rm\, p\,$ es de los primeros: $\rm\ p\mid ab\:\Rightarrow\: p\mid\ \ o\ \ p\mid b$

Cuál de estas propiedades arroja la más intuitiva de luz sobre por qué la unicidad de la factorización de la entraña? Si tuviera que elegir uno, elegiría $(2),$ Schreier refinamiento. Si usted extender esta por inducción implica que cualquiera de los dos factorizations de un entero tienen un común refinamiento. Por ejemplo, si tenemos dos factorizations $\rm\: a_1 a_2 = n = b_1 b_2 b_3\:$, a continuación, Schreier refinamiento implica que podemos construir el siguiente refinamiento de la matriz, donde las etiquetas de las columnas son el producto de los elementos de la columna y la fila de las etiquetas de los productos de los elementos en la fila

$$\begin{array}{c|ccc} &\rm b_1 &\rm b_2 &\rm b_3 \\ \hline \rm a_1 &\rm c_{1 1} &\rm c_{1 2} &\rm c_{1 3}\\ \rm a_2 &\rm c_{2 1} &\rm c_{2 2} &\rm c_{2 3}\\ \end{array}$$

Esto implica las siguientes común refinamiento de los dos factorizations

$$\rm a_1 a_2 = (c_{1 1} c_{1 2} c_{1 3}) (c_{2 1} c_{2 2} c_{2 3}) = (c_{1,1} c_{2 1}) (c_{1,2} c_{2 2}) (c_{1,3} c_{2 3}) = b_1 b_2 b_3$$

Este de inmediato los rendimientos de la singularidad de factorizations en números primos (los átomos). También funciona de manera más general para factorizations en coprime elementos, y para factorizations de ciertos tipos de estructuras algebraicas (abelian grupos, etc).

11voto

HappyEngineer Puntos 111

Lo creas o no, el teorema fundamental es principalmente un resultado de la siguiente resultado:

Si $a,b$ son un par de enteros primos relativos, entonces $ax+by=1$ ha para algunos enteros, $x,$y.

A su vez, esto se deduce porque los enteros son algo que se llama un "director de ideal de dominio."

Un "ideal" puede ser definido por un anillo, pero en el caso de los enteros, podemos definir un ideal, como un no-vacío subconjunto de $I\subseteq \mathbb Z$, que es cerrado bajo la suma y la toma de inversos aditivos. En otras palabras, es un subgrupo de $(\mathbb Z,+)$.

Ahora, podemos, en general, tomar el conjunto de los múltiplos de unos $d$, escrito $d\mathbb Z$. Estos son los ideales, llamado el principal ideales.

El hecho de que estos son los únicos ideales es por eso que el anterior teorema es verdadero, ya que $\mathbb Z + b\mathbb Z$ puede ser demostrado ser un ideal, por lo que debe ser el principal, es decir, $\mathbb Z + b\mathbb Z=d\mathbb Z$ $d$. Dado que $a,b$, ambos están en el lado izquierdo, $d|a$ y $d|b$. Pero $a,b$ no tienen factores comunes distintos de $\pm 1$, entonces $d=\pm 1$.

El hecho de que $\mathbb Z$ es el principal ideal de dominio es debido a la existencia de un algoritmo de la división en $\mathbb Z$.

Así, el algoritmo de la división implica principal ideal de dominio implica $ax+by=1$ solución implica único de factorización.

Esta cadena de la razón obras en otros lugares, tales como el anillo de polinomios sobre un campo o $\mathbb Z[i]$ (los enteros de Gauss.)

En otros casos, el algoritmo de la división no se aplica, pero el anillo es todavía un director ideal de dominio.

En otros, sin embargo, no tenemos ni un PID, pero todavía tenemos factorización única, tales como el anillo de polinomios con coeficientes enteros.

Arnold Ross profesa el "teorema fundamental" que en realidad debería ser:

Si $a|ac$ y $a,b$ son relativos primo, entonces $a|c$

Este es un corolario directo de la $ax+by=1$ teorema, y es el corazón de la "norma" teorema fundamental.

Hay dominios que no son exclusivas de la factorización de dominios. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in\mathbb Z\}$ es un dominio en el que la única factorización de la falla.

3voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Cualesquiera dos enteros tienen un máximo común divisor (mcd); $\gcd(a,b)$ puede ser escrita en la forma $a x + b y$ donde $x$ y $y$ son números enteros (por el algoritmo de Euclides). Esta idea está detrás de un montón de primaria de la teoría de números.

Supongamos que $p$ divide a $ab$ (por lo que $ab = r p$ para algún entero $r$), pero p $$ no dividir $a$. Entonces $\gcd(a,p) = 1$ para $1 = x p + y$ para algunos enteros $x$ y $y$. Multiplicar por $b$, $b = x b p + y a b = x b p + y p r p r p = (xb + r) p$, entonces $p$ divide a $b$.

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