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Usando integración por partes resultados en 0 = 1

Me he topado con una situación extraña, mientras que tratando de aplicar la Integración Por Partes, y me parece que no puede venir para arriba con una explicación. Voy a empezar con la siguiente ecuación:

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx$$

Dejo:

$$u = \frac{1}{f} \text{ y } dv = \frac{df}{dx} dx$$

Entonces me encuentro:

$$du = -\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx} dx \text{ y } v = f$$

Luego se pueden sustituir en la habitual IBP fórmula:

$$\int udv = uv - \int v du$$

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \frac{1}{f} f \int f \left(-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx}\right) dx$$

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = 1 + \int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx$$

Luego restando la integral de ambos lados, ahora he demostrado que:

$$0 = 1$$

Evidentemente, debe haber un problema en mi derivación aquí... Qué mal asunción he hecho, o qué error he hecho? Estoy desconcertado.

75voto

Cagri Puntos 61

Sugerencia: Constante de integración.

7voto

Hurkyl Puntos 57397

Correctamente deriva que $0 = 1$... modulo constantes.

Antiderivatives sólo están bien definidos modulo constantes*; por ejemplo, tanto $x$ y $x+1$ son antiderivatives (con respecto a $x$) de us $1$. La ecuación que usted escribió es, implícitamente, sólo pretende ser una ecuación módulo constantes; es decir, los dos lados de la ecuación no tiene que ser igual: se permiten difieren por una constante.

Este es tradicionalmente trabajaban alrededor mediante la adición de una "constante de integración" en una manera ad hoc, en lugar de tratar de introducir la aritmética modular. Esta ad-hoc de revisión puede ser difícil de conseguir en un trivial algebraica de cálculo si usted no entiende completamente lo que está pasando, ya que su cálculo de la muestra.

Cuando se anulan los dos copias de $\int\frac{1}{f} \frac{df}{dx} \, dx$, que no elimina el hecho de que la ecuación es todavía sólo significa sostener modulo constantes: usted simplemente he eliminado el mental cue (la presencia de una antiderivada) para recordar ese hecho.

*: Técnicamente, debería decir "localmente constante de funciones en la integración de la variable" en lugar de "constantes"

4voto

Fabien Puntos 2294

Esta línea $$ \int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \frac{1}{f} f - \int f \left (-\frac {1} {f ^ 2} \frac{df}{dx}\right) dx$ debe $\int_a^b \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \left[\frac{1}{f} f\right] _a ^ b - \int_a^b f \left (-\frac {1} {f ^ 2} \frac{df}{dx}\right) dx$ $ así $\int_a^b \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \left[1\right]_a^b - \int_a^b f \ izquierda (-\frac {1} {f ^ 2} \frac{df}{dx}\right) dx$ $ y $\left[1\right]_a^b=0$

0voto

evil999man Puntos 4576

Como ejercicio, mira esta prueba de $0 = 1$

Distinguir ambos lados $wrt $ $x$

$ $0 = 0

Que es cierto, por lo tanto demostrado.

Si encuentras el error aquí, por lo que puede en su pregunta anterior.

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