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La intuición por la Integral se Transforma

Es bien sabido que las operaciones de la diferenciación y la integración son la reducción de la multiplicación y la división, después de ser transformado por una transformación integral (como, por ejemplo, la transformada de Fourier o transformadas de Laplace).

Mi pregunta: hay alguna intuición de por qué esto es así? Se puede demostrar, ok - pero puede alguien por favor explique la imagen grande (por favor, no demasiado técnico - yo podría necesitar otra intuición para entender que uno, entonces, también ;-)

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steevc Puntos 211

La transformada de Fourier y las transformadas de Laplace se define por las pruebas de la función dada f por funciones especiales (caracteres en el caso de la transformada de Fourier, exponenciales en el caso de Laplace).

Estas funciones especiales pasan a ser funciones propias de la traducción: si uno traduce a un personaje o una exponencial, se obtiene un escalar varios de ese personaje o una exponencial.

Como consecuencia, la transformada de Fourier o transformadas de Laplace diagonalise la operación de traducción (formalmente, al menos).

Cuando dos lineal de las operaciones de transporte, que son al mismo tiempo diagonalisable (en principio, al menos). Como tal, uno espera que la transformada de Fourier o transformadas de Laplace también diagonalise otros lineal, la traducción-invariante de las operaciones.

La diferenciación y la integración son lineales, la traducción-invariante de las operaciones. Esta es la razón por la que se diagonalised por la transformada de Fourier y las transformadas de Laplace.

Diagonalisation es una herramienta extremadamente útil, reduce el no abelian mundo de los operadores y matrices para la abelian mundo de los escalares.

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sickgemini Puntos 2001

Podría ayudarle a pensar acerca de un discreto modelo: considere el complejo de funciones con valores en $Z/n$. La transformada de Fourier discreta toma $f(k)$ a $g(j) :=\sum_{k=1}^n f(k) \zeta^{jk}$ donde $\zeta=e^{2 \pi i/n}$. Es bastante fácil ver que, si el cambio de $f(k)$ $f(k+1)$, cambiamos $g(j)$ $g(j)*\zeta^j$.

Del mismo modo, el cambio de $f(k)$ $f(k+1)-f(k)$ cambios $g(j)$ $g(j)*(\zeta^j-1)$. Así, en este modelo es discreto, teniendo una diferencia resulta de la multiplicación por $(\zeta^j-1)$. En forma similar, en el ajuste continuo, tomando un derivado se convierte en la multiplicación por $x$.

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Michiel de Mare Puntos 15888

Usted puede pensar de la integral se transforma como un cambio de coordenadas. Uno de los principales trucos en la física es escoger un sistema de coordenadas que hace que su problema más simple. Por ejemplo, usted puede fijar sus coordenadas para que la acción que usted está interesado en que sucede lo largo de un eje.

Se podría pensar en una transformada de Fourier como una rotación en un espacio funcional. La diferenciación es particularmente simple en el girar el sistema de coordenadas, así como las fuerzas son más sencillas cuando el sistema de coordenadas con las líneas de la fuerza.

La transformada de Fourier es realmente una rotación de los géneros (la "transformación ortogonal"). Si se aplica la transformada de Fourier de cuatro veces, usted recupera su función original, como usted obtener seno de la espalda cuando se puede distinguir cuatro veces.

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Schof Puntos 859

Uno unificador manera de ver muchas de las transformaciones es a través de los ojos de la teoría cuántica. Por ejemplo, la transformada de Fourier es un cambio de base de la cuántica, el espacio de Hilbert entre la coordenada y el impulso de las representaciones. El unitarity de la transformación es una expresión del hecho de que preservar cuántica probabilidades y no hay ninguna diferencia en la física del problema si utiliza cualquiera de representación.

La teoría geométrica de la cuantificación es en realidad la rigurosa forma de expresar esta unificado de punto de vista. Hay muchos transforma, por ejemplo, la transformada de Fourier-Wiener y el Berezin de transformación que comparten esta propiedad (conservación de la probabilidad cuántica).

1voto

Luke Puntos 798

Después de haber leído todas las respuestas (y no haber entendido la mayoría de ellos por completo) y finalmente llegué a la siguiente conclusión:

El mencionado transformadas integrales implican que la función exponencial, por ejemplo: $e^{nx}$

Diferenciar esto significa $n e^{n x}$ - que es simplemente la multiplicación por $n$

Integrar esto significa que $\frac{1}{n} e^{nx}$ - que es simplemente la división por $n$

Esto es cierto para la alimentación de la serie, que son la forma discreta de la integral se transforma (tipo de) y originalmente proviene de la energía de la regla (por diferenciación) - a pesar de que habría un molesto división por la base usando el "ordinario" términos del poder. Esto se puede evitar mediante el uso de la función exponencial.

Por lo tanto, si esto tiene sentido a favor de votar - de lo contrario, por favor, comentario..

Gracias a todos por su ayuda!

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