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Tratando de Demostrar que $H=\langle a,b:a^{3}=b^{3}=(ab)^{3}=1\rangle$ es un Grupo de Orden Infinito

Estoy tratando de demostrar que el siguiente grupo tiene una infinidad de orden $$H=\langle a,b:a^{3}=b^{3}=(ab)^{3}=1\rangle$$ actualmente estoy revisando en algunos casos, el uso de las relaciones, pero mi problema es la reducibilidad de los productos de gran tamaño. Ingenuamente, empecé a comprobar que $ab$ es diferente de $1,a,b$ y, a continuación,$ba$$1,a,b,ab$, sólo para entender lo $H$ en cierta medida. Ahora me pregunto acerca de algún método más eficaz para demostrar que $|H|=\infty$, estoy tentado a buscar una inyección de algún grupo de infinito de orden en $H$, pero todavía estoy atascado. Más de lo que pide una solución prefiero apreciar algunas sugerencias o pensamientos acerca de ella. Muchas gracias.

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Xetius Puntos 10445

Considere la posibilidad de un triángulo equilátero en el avión y dejar $r$, $s$ y $t$ ser los movimientos del plano dado por la reflexión con respecto a cada uno de los lados del triángulo. A continuación, $a=rs$ es una rotación de ángulo de $2\pi/3$ alrededor de los vértices del triángulo que es la intersección de los lados con respecto a la cual se $r$ $s$ reflexionar. Del mismo modo, $b=st$ es una rotación de ese mismo ángulo de alrededor de otro de los vértices, y así es $c=rt$. Observe que $a^3=b^3=c^3$ y $c=ab$.

De ello se desprende que hay una surjective grupo homomorphism de su grupo para el subgrupo del grupo de $\Gamma$ de los movimientos en el plano generado por los tres rotaciones $a$, $b$ y $c$. Para mostrar su grupo es infinito es suficiente para demostrar que $\Gamma$ tiene una infinita órbita en el plano, y usted puede hacer esto al hacer fotos :-)


Más tarde. Es importante tener en cuenta que este no es un hecho al azar. El grupo generado por los tres reflexiones sobre los lados de mi triángulo, que ha de presentación de $\langle r, s, t: r^2=s^2=t^2=(rs)^3=(st)^3=(tr)^3\rangle$ es lo que llamamos un grupo de Coxeter, y el subgrupo generado por los tres rotaciones $a$, $b$ y $c$ es su parte positiva. Este tipo de grupo es muy conocido, y una búsqueda en Google va a mostrar.

3voto

bene Puntos 4294

Deje $p$ ser un primer congruente a $1\ mod\ 3$. Encontrar un homomorphism de su grupo $H$ a los no-abelian grupo de orden $3p$. A continuación, utilice el hecho de que existen infinitos números primos congruentes a $1\ mod\ 3$ que $H$ es infinito.

Este es un problema de Dummit y Foote del Álgebra Abstracta, 3ª ed, 6.3.14, página 221.

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Mike Earnest Puntos 4610

Una cadena de $a$'s y $b$'s representa un elemento distinto de cero de a $H$ siempre que no haya una subcadena de la forma $sss$ donde $s$ es una cadena más pequeña. Esto es debido a que todas las relaciones de la definición de $H$ son de la forma $s^3=1$ para algunos cadena de $s$, por lo que si no $s^3$ aparece, la cadena no puede ser reducido aún más.

Ahora, considere la siguiente secuencia de cadenas:

$$ a, ab, abba, abbabaab,abbabaabbaababba, \dots $$

La primera cadena es $a$. Para obtener el sucesor de $s$, concatenar $s$ $s'$ donde$s'$$s$, pero con $a$ $b$ intercambiados. Este es el Thue-Morse secuencia. Es importante destacar que, el Thue-Morse es la secuencia de cubo libre, es decir, no tiene ningún tipo de subcadenas de la forma $sss$. Este hecho es un poco difícil de probar, pero es bien conocido.

Dejando $s_i$ $i^{th}$ cadena en la lista anterior, para todos los $i<j$, $s_i^{-1}s_j$ es una subcadena de $s_j$, que es por lo tanto el cubo de manera libre por el primer párrafo distinto de cero en $H$. Por lo tanto, estas cadenas representan pares de elementos distintos de a $H$, lo $H$ es infinito.

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