¿Cuáles son algunas afirmaciones razonables que son independientes de la ZFC?

Question

De vez en cuando, alguien me plantea una pregunta. Cuando me pongo a pensar en ella, me dicen: "en realidad, es indecidible en ZFC".

Por ejemplo, supongamos que A es un grupo abeliano tal que toda secuencia exacta corta de grupos abelianos 0→ℤ→B→A→0 se divide. ¿Se deduce que A es libre? Esto se conoce como El problema de Whitehead y es indecidible en ZFC.

¿Cuáles son otras afirmaciones que no son directamente teóricas de conjuntos, y que uno pensaría que jugando con ellas durante una semana se obtendría una prueba o un contraejemplo, pero resultan ser indecidibles? Una respuesta por mensaje, por favor, e incluya una referencia si es posible.

Answer 1

"Si un conjunto X es más pequeño en cardinalidad que otro conjunto Y, entonces X tiene menos subconjuntos que Y".

Aunque la afirmación parece obvia, en realidad es independiente de la ZFC. La afirmación se desprende de la Hipótesis del Continuo Generalizado, pero hay modelos de ZFC que tienen contraejemplos, incluso en casos relativamente concretos, en los que X son los números naturales e Y es un cierto conjunto incontable de números reales (pero sin embargo los conjuntos de potencias P(X) y P(Y) pueden ponerse en correspondencia biyectiva). Esta situación se da bajo el Axioma de Martin, cuando la CH falla.

Answer 2

ACTUALIZACIÓN: he editado la respuesta mediante la adición de detalles y la adición de una referencia. En particular, me especializados de un campo arbitrario a los números complejos en respuesta a Juan del comentario.

He aquí un ejemplo de álgebra conmutativa. La dimensión proyectiva de un módulo M se define como la longitud mínima de una resolución proyectiva de M. sea S el anillo ℂ[x,y,z] y M es el módulo de ℂ(x,y,z). A continuación, la dimensión proyectiva de M es indecidible en ZFC. Más específicamente, la dimensión proyectiva de M es 2 si la hipótesis continua se mantiene, y es 3 si el continuum hipótesis de falla.

Esto se desprende de Barbara Osofsky del trabajo (MR0548131); véase Teorema de la 2.51 de Homológica Dimensiones de los Módulos. Ella parece tener un gran número de resultados que serían relevantes para esta pregunta.

Answer 3

Re:

He aquí un ejemplo del álgebra conmutativa. . Sea S el anillo $\mathbb{C}[x,y,z]$ y M es el módulo $\mathbb{C}(x,y,z)$ . Entonces la dimensión proyectiva de $M$ es $2$ si se cumple la hipótesis del continuo, y es $3$ si la hipótesis del continuo falla.

Drinfeld ha señalado (véase http://arxiv.org/abs/math/0309155v4 ) que los problemas de la teoría de conjuntos provienen de la utilización de una definición errónea de "proyectivo". Raynaud y Gruson demostraron que la proyectividad de un módulo M es equivalente a la combinación de tres condiciones:

(1) la planicidad

(2) descomposición como suma directa de módulos generados contablemente

(3) Condición Mittag-Leffler

Que (2) es posible para módulos proyectivos es un teorema de Kaplansky, pero la descomposición no es canónica, y esto es lo que introduce el axioma de elección en la prueba de "libre implica proyectivo".

Según entendí en la conferencia de Drinfeld, sólo (1) y (3) son necesarios para las aplicaciones y para desarrollar el álgebra homológica, y (2) no es deseable porque es una condición demasiado fuerte cuando se trabaja con haces de dimensión infinita. Propuso directamente "plano y Mittag-Leffler", o una variante menor de ésta, como definición de lo que llamó "proyectividad con rostro humano", que funcionaría sin problemas en las aplicaciones existentes y permitiría una generalización razonable al caso dimensional infinito.

Además, (1) y (3) son definibles en lógica de primer orden, por lo que hay menos posibilidades de que surjan problemas de teoría de conjuntos por la cuantificación sobre estructuras grandes o complicadas.

Answer 4

Si X es un espacio compacto de Hausdorff, y f es un homomorfismo de álgebra de C(X) a alguna álgebra de Banach, ¿debe ser f continua?

Esta cuestión resulta ser independiente. La respuesta afirmativa se denomina Conjetura de Kaplansky .

Answer 5

"No hay un buen ordenamiento definible de los números reales".

Aunque muchos matemáticos simplemente creen que esta afirmación es cierta, en realidad, es independiente de la ZFC. En el universo construible de Goedel $L$ por ejemplo, existe un buen ordenamiento definible de los reales, que tiene una complejidad $\Delta^1_2$ en la jerarquía descriptiva de la teoría de conjuntos. Es decir, la ordenación del bien es un subconjunto del plano $\mathbb R\times\mathbb R$ y es la proyección del complemento de la proyección de un conjunto de Borel (y simultáneamente, el complemento de otro conjunto semejante).

La idea de que, en principio, no se pueden describir o construir órdenes de los reales no es correcta.